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立体几何及空间向量法解决立体几何问题
知识点
(一)、空间点线面的位置
直线与直线的位置
(1)(2)(3)
2、直线与平面的位置
(1)(2)(3)
3、平面与平面的位置
(1)(2)
(二)空间点线面的证明
1、平行

线∥线线∥面面∥面




垂直

线⊥线线⊥面面⊥面






(三)空间向量
1、空间直角坐标系的建立:


空间直角坐标的读取:



空间向量坐标的运算:
(1)
(2)∥=
(3)⊥=
(4)
(5),则

平面法向量的求法:
n









b
a
如图,设=(x1,y1,z1)、=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量,则步骤如下:
第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).

第二步(列):根据n·a=0且n·b=0可

列出方程组

第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.

第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐标.

例1:在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.
A
A





A
B
C
D
O
A1
B1
C1
D1
z
x
y


空间向量法解决证明问题
(1)线线平行:

(2)线线垂直:

(3)线面平行:

(4)线面垂直:

(5)面面平行:

(6)面面垂直:


空间向量法解决空间角问题
线线角:


线面角:



面面角:




空间向量法解决空间距离问题:
点面距离:



线面距离:

面面距离:



典例剖析
(一)考点一点线面的证明
D
D1
C1
A1
E
F
A
B
C
B1
例1、【2015高考新课标2,理19】如图,长方体中,,,,点,分别在,上,.过点,的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由);
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).
【考点定位】1、直线和平面平行的性质;2、直线和平面所成的角.
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
变式训练1、【2015江苏高考,16】如图,在直三棱柱中,已知,,设的中点为,.求证:
(1);
(2).

【答案】(1)详见解析(2)详见解析
【解析】
试题分析(1)由三棱锥性质知侧面为平行四边形,因此点为的中点,从而由三角形中位线性又因为,平面,平面,,
所以平面.
又因为平面,所以.
因为,所以矩形是正方形,因此.
因为,平面,,所以平面.
又因为平面,所以.
变式训练2、【2015高考安徽,理19】如图所示,在多面体,四边形,均为正方形,为的中点,过的平面交于F.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)求二面角余弦值.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
试题分析:(Ⅰ)证明:依据正方形的性质可知,且,,从而为平行四边形,则,根据线面平行的判定定理知面,再由线面平行的性质定理知.(Ⅱ)因为四边形,,均为正方形,所以,且,可以建以为原点,分别以为轴,轴,轴单位正向量的平面直角坐标系,写出相关的点的坐标,设出面的法向量.由得应满足的方程组,为其一组解,所以可取.同理的法向量.所以结合图形知二面角的余弦值为.
试题解析:(Ⅰ)证明:由正方形的性质可知,且,所以四边形为平行四边形,从而,又面,面,于是面,又.设面的法向量,而该面上向量,由此同理可得.所以结合图形知二面角的余弦值为.
(二)考点二线线角(异面直线所成角)
例2、(1)(2013·沈阳调研)在直三棱柱A1B1C1­ABC中,∠BCA=90°,点D1,F1分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BD1与AF1所成角的余弦值是()
A.eq\f(\r(30),10)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(30),15)	D.eq\f(\r(15),10)
(2)如图,在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中,M和N分别是A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值为________.

变式训练1:[2014·新课标全国卷Ⅱ]直三棱柱ABC­A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为()
eq\f(1,10)B.eq\f(2,5)C.eq\f(\r(30),10)D.eq\f(\r(2),2)
变式训练2:如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_____.
B
C






A
M
x
z
y
B1
C1
D1
A1
C
D
M
A


(三)考点三直线与平面所成的角
例3、(2013·湖南高考)如图,在直棱柱ABCD­A1B1C1
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