立体几何及空间向量法.doc

立体几何及空间向量法解决立体几何问题
知识点
（一）、空间点线面的位置
直线与直线的位置
（1）（2）（3）
2、直线与平面的位置
（1）（2）（3）
3、平面与平面的位置
（1）（2）
（二）空间点线面的证明
1、平行

线∥线线∥面面∥面

垂直

线⊥线线⊥面面⊥面

（三）空间向量
1、空间直角坐标系的建立：

空间直角坐标的读取：

空间向量坐标的运算：
（1）
（2）∥=
（3）⊥=
（4）
（5），则

平面法向量的求法：
n

b
a
如图,设=(x1,y1,z1)、=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量，则步骤如下：
第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).

第二步(列):根据n·a=0且n·b=0可

列出方程组

第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.

第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐标.

例1：在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.
A
A

A
B
C
D
O
A1
B1
C1
D1
z
x
y

空间向量法解决证明问题
（1）线线平行：

（2）线线垂直：

（3）线面平行：

（4）线面垂直：

（5）面面平行：

（6）面面垂直：

空间向量法解决空间角问题
线线角：

线面角：

面面角：

空间向量法解决空间距离问题：
点面距离：

线面距离：

面面距离：

典例剖析
（一）考点一点线面的证明
D
D1
C1
A1
E
F
A
B
C
B1
例1、【2015高考新课标2，理19】如图，长方体中,，，，点，分别在，上，．过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．
【考点定位】1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角．
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
变式训练1、【2015江苏高考，16】如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，.求证：
（1）；
（2）.

【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【解析】
试题分析（1）由三棱锥性质知侧面为平行四边形,因此点为的中点，从而由三角形中位线性又因为，平面，平面，，
所以平面．
又因为平面，所以．
因为，所以矩形是正方形，因此．
因为，平面，，所以平面．
又因为平面，所以．
变式训练2、【2015高考安徽，理19】如图所示，在多面体，四边形，均为正方形，为的中点，过的平面交于F.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求二面角余弦值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）证明：依据正方形的性质可知，且，，从而为平行四边形，则，根据线面平行的判定定理知面，再由线面平行的性质定理知.（Ⅱ）因为四边形，，均为正方形，所以，且，可以建以为原点，分别以为轴，轴，轴单位正向量的平面直角坐标系，写出相关的点的坐标，设出面的法向量.由得应满足的方程组，为其一组解，所以可取.同理的法向量.所以结合图形知二面角的余弦值为.
试题解析：（Ⅰ）证明：由正方形的性质可知，且，所以四边形为平行四边形，从而，又面，面，于是面，又.设面的法向量，而该面上向量，由此同理可得.所以结合图形知二面角的余弦值为.
（二）考点二线线角（异面直线所成角）
例2、（1）(2013·沈阳调研)在直三棱柱A1B1C1­ABC中，∠BCA＝90°，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是()
A.eq\f(\r(30),10)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(30),15) D.eq\f(\r(15),10)
（2）如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为________．

变式训练1：[2014·新课标全国卷Ⅱ]直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()
eq\f(1,10)B.eq\f(2,5)C.eq\f(\r(30),10)D.eq\f(\r(2),2)
变式训练2：如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_____.
B
C

A
M
x
z
y
B1
C1
D1
A1
C
D
M
A

（三）考点三直线与平面所成的角
例3、(2013·湖南高考)如图，在直棱柱ABCD­A1B1C1