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立体几何及空间向量法解决立体几何问题 知识点 (一)、空间点线面的位置 直线与直线的位置 (1)(2)(3) 2、直线与平面的位置 (1)(2)(3) 3、平面与平面的位置 (1)(2) (二)空间点线面的证明 1、平行 线∥线线∥面面∥面 垂直 线⊥线线⊥面面⊥面 (三)空间向量 1、空间直角坐标系的建立: 空间直角坐标的读取: 空间向量坐标的运算: (1) (2)∥= (3)⊥= (4) (5),则 平面法向量的求法: n b a 如图,设=(x1,y1,z1)、=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量,则步骤如下: 第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z). 第二步(列):根据n·a=0且n·b=0可 列出方程组 第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y. 第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐标. 例1:在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量. A A A B C D O A1 B1 C1 D1 z x y 空间向量法解决证明问题 (1)线线平行: (2)线线垂直: (3)线面平行: (4)线面垂直: (5)面面平行: (6)面面垂直: 空间向量法解决空间角问题 线线角: 线面角: 面面角: 空间向量法解决空间距离问题: 点面距离: 线面距离: 面面距离: 典例剖析 (一)考点一点线面的证明 D D1 C1 A1 E F A B C B1 例1、【2015高考新课标2,理19】如图,长方体中,,,,点,分别在,上,.过点,的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由); (Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ). 【考点定位】1、直线和平面平行的性质;2、直线和平面所成的角. A B C D E A1 B1 C1 变式训练1、【2015江苏高考,16】如图,在直三棱柱中,已知,,设的中点为,.求证: (1); (2). 【答案】(1)详见解析(2)详见解析 【解析】 试题分析(1)由三棱锥性质知侧面为平行四边形,因此点为的中点,从而由三角形中位线性又因为,平面,平面,, 所以平面. 又因为平面,所以. 因为,所以矩形是正方形,因此. 因为,平面,,所以平面. 又因为平面,所以. 变式训练2、【2015高考安徽,理19】如图所示,在多面体,四边形,均为正方形,为的中点,过的平面交于F. (Ⅰ)证明:; (Ⅱ)求二面角余弦值. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ). 【解析】 试题分析:(Ⅰ)证明:依据正方形的性质可知,且,,从而为平行四边形,则,根据线面平行的判定定理知面,再由线面平行的性质定理知.(Ⅱ)因为四边形,,均为正方形,所以,且,可以建以为原点,分别以为轴,轴,轴单位正向量的平面直角坐标系,写出相关的点的坐标,设出面的法向量.由得应满足的方程组,为其一组解,所以可取.同理的法向量.所以结合图形知二面角的余弦值为. 试题解析:(Ⅰ)证明:由正方形的性质可知,且,所以四边形为平行四边形,从而,又面,面,于是面,又.设面的法向量,而该面上向量,由此同理可得.所以结合图形知二面角的余弦值为. (二)考点二线线角(异面直线所成角) 例2、(1)(2013·沈阳调研)在直三棱柱A1B1C1ABC中,∠BCA=90°,点D1,F1分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BD1与AF1所成角的余弦值是() A.eq\f(\r(30),10)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(30),15) D.eq\f(\r(15),10) (2)如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M和N分别是A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值为________. 变式训练1:[2014·新课标全国卷Ⅱ]直三棱柱ABCA1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为() eq\f(1,10)B.eq\f(2,5)C.eq\f(\r(30),10)D.eq\f(\r(2),2) 变式训练2:如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_____. B C A M x z y B1 C1 D1 A1 C D M A (三)考点三直线与平面所成的角 例3、(2013·湖南高考)如图,在直棱柱ABCDA1B1C1

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