立体几何中三角形的四心问题.doc

立体几何中三角形的四心问题
外心问题（若PA=PB=PC,则O为三角形ABC的外心）
例1．设P是ΔABC所在平面α外一点，若PA，PB，PC与平面α所成的角都相等，那么P在平面α内的射影是ΔABC的()
A.内心B.外心C.垂心D.重心
如图所示，作PO⊥平面α于O，连OA、OB、OC，那么∠PAO、∠PBO、∠PCO分别是PA、PB、PC与平面α所成的角，且已知它们都相等.
∴RtΔPAO≌RtΔPBO≌RtΔPCO.∴OA＝OB＝OC∴应选B.
例2．Rt△ABC中，∠C＝９０°，BC＝３６，若平面ABC外一点P与平面A，B，C三点等距离，且P到平面ABC的距离为８０，M为AC的中点．（１）求证：PM⊥AC；（２）求P到直线AC的距离；（３）求PM与平面ABC所成角的正切值．
解析：点P到△ABC的三个顶点等距离，则P在平面ABC内的射影为△ABC的外心，而△ABC为直角三角形，其外心为斜边的中点．
证明（１）∵PA＝PC，M是AC中点，∴PM⊥AC
解（２）∵BC＝３６，∴MH＝１８，又PH＝８０，
∴PM＝，即P到直线AC的距离为８２；
（３）∵PM=PB=PC，∴P在平面ABC内的射线为△ABC的外心，
∵∠C=90°∴P在平面ABC内的射线为AB的中点H。
∵PH⊥平面ABC，∴HM为PM在平面ABC上的射影，
则∠PMH为PM与平面ABC所成的角，∴tan∠PMH＝
例3．斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，AB=AC=10，BC=12，A1到A、B、C三点的距离都相等，且AA1=13，求斜三棱柱的侧面积。
解析：∵A1A=A1B=A1C
∴点A1在平面ABC上的射影为△ABC的外心，在∠BAC平分线AD上
∵AB=AC∴AD⊥BC
∵AD为A1A在平面ABC上的射影
∴BC⊥AA1∴BC⊥BB1
∴BB1C1C为矩形，S=BB1×BC=156
取AB中点E，连A1E
∵A1A=A1B∴A1E⊥AB
∴∴
∴S侧=396
二、内心问题（若P点到三边AB,BC,CA的距离相等，则O是三角形ABC的内心）
例4．如果三棱锥S—ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的角都相等，且顶点S在底面的射影O在ΔABC内，那么O是ΔABC的()
A.垂心B.重心C.外心D.内心
解(1)利用三垂线定理和三角形全等可证明O到ΔABC的三边的距离相等，因而O是ΔABC的内心，因此选D.
说明三角形的内心、外心、垂心、旁心、重心，它们的定义和性质必须掌握.
A
B
D
C
P
H
F
M
G
N
图2－24
三．重心问题（若PA垂直PB，PB垂直PC,PC垂直PA,则O是三角形ABC的重心）
例6．如图2－24：B为ACD所在平面外一点，M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心，（1）求证：平面MNG//平面ACD；（2）求
解析：（1）要证明平面MNG//平面ACD，由于M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心，因此可想到利用重心的性质找出与平面平行的直线。
证明:连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H。∵M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心，则有：连结PF、FH、PH有MN∥PF，又PF平面ACD，∴MN∥平面ACD。同理：MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，∴平面MNG∥平面ACD
（2）分析：因为△MNG所在的平面与△ACD所在的平面相互平行，因此，求两三角形的面积之比，实则求这两个三角形的对应边之比。解：由（1）可知，∴MG＝PH，又PH＝AD，∴MG＝AD同理：NG＝AC，MN＝CD，∴MNG∽ACD，其相似比为1：3，∴＝1：9
点评:立体几何问题，一般都是化成平面几何问题，所以要重视平面几何。比如重心定理，三角形的三边中线交点叫做三角形有重心，到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍。
例7．如图9－26，P为△ABC所在平面外一点，点M、N分别是△PAB和△PBC的重心．求证：MN∥平面ABC．（三角形的三条中线交于一点，称为重心，重心到一个顶点的距离是该点到对边中点距离的2倍）
解析：如图9－16，连结PM并延长交AB于D，连结PN并延长交BC于E，连结DE．在ΔPAB中，∵M是ΔPAB的重心，∴，同理在△PBC中有，在△PDE中，∵，∴MN∥DE，∵MN平面ABC，DE平面ABC，∴MN∥平面ABC．

例9．如图，在三棱锥S—ABC中，A1、B1、C1分别是ΔSBC、ΔSCA、ΔSAB的重心，(1)求证：平面A1B1C1∥平面ABC；(2)求三棱锥S—A1B1C1与S—ABC体积之比.

解析：本题显然应由三角形重心的性质，结合成比例线段的关系推导出“线线平行”再到“线面平行”到“面面平行”，至于体积的比的计算只要能求出相似三角形面积的比和对应高的