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立体几何中三角形的四心问题 外心问题(若PA=PB=PC,则O为三角形ABC的外心) 例1.设P是ΔABC所在平面α外一点,若PA,PB,PC与平面α所成的角都相等,那么P在平面α内的射影是ΔABC的() A.内心B.外心C.垂心D.重心 如图所示,作PO⊥平面α于O,连OA、OB、OC,那么∠PAO、∠PBO、∠PCO分别是PA、PB、PC与平面α所成的角,且已知它们都相等. ∴RtΔPAO≌RtΔPBO≌RtΔPCO.∴OA=OB=OC∴应选B. 例2.Rt△ABC中,∠C=90°,BC=36,若平面ABC外一点P与平面A,B,C三点等距离,且P到平面ABC的距离为80,M为AC的中点.(1)求证:PM⊥AC;(2)求P到直线AC的距离;(3)求PM与平面ABC所成角的正切值. 解析:点P到△ABC的三个顶点等距离,则P在平面ABC内的射影为△ABC的外心,而△ABC为直角三角形,其外心为斜边的中点. 证明(1)∵PA=PC,M是AC中点,∴PM⊥AC 解(2)∵BC=36,∴MH=18,又PH=80, ∴PM=,即P到直线AC的距离为82; (3)∵PM=PB=PC,∴P在平面ABC内的射线为△ABC的外心, ∵∠C=90°∴P在平面ABC内的射线为AB的中点H。 ∵PH⊥平面ABC,∴HM为PM在平面ABC上的射影, 则∠PMH为PM与平面ABC所成的角,∴tan∠PMH= 例3.斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中,AB=AC=10,BC=12,A1到A、B、C三点的距离都相等,且AA1=13,求斜三棱柱的侧面积。 解析:∵A1A=A1B=A1C ∴点A1在平面ABC上的射影为△ABC的外心,在∠BAC平分线AD上 ∵AB=AC∴AD⊥BC ∵AD为A1A在平面ABC上的射影 ∴BC⊥AA1∴BC⊥BB1 ∴BB1C1C为矩形,S=BB1×BC=156 取AB中点E,连A1E ∵A1A=A1B∴A1E⊥AB ∴∴ ∴S侧=396 二、内心问题(若P点到三边AB,BC,CA的距离相等,则O是三角形ABC的内心) 例4.如果三棱锥S—ABC的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的角都相等,且顶点S在底面的射影O在ΔABC内,那么O是ΔABC的() A.垂心B.重心C.外心D.内心 解(1)利用三垂线定理和三角形全等可证明O到ΔABC的三边的距离相等,因而O是ΔABC的内心,因此选D. 说明三角形的内心、外心、垂心、旁心、重心,它们的定义和性质必须掌握. A B D C P H F M G N 图2-24 三.重心问题(若PA垂直PB,PB垂直PC,PC垂直PA,则O是三角形ABC的重心) 例6.如图2-24:B为ACD所在平面外一点,M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心,(1)求证:平面MNG//平面ACD;(2)求 解析:(1)要证明平面MNG//平面ACD,由于M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心,因此可想到利用重心的性质找出与平面平行的直线。 证明:连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H。∵M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心,则有:连结PF、FH、PH有MN∥PF,又PF平面ACD,∴MN∥平面ACD。同理:MG∥平面ACD,MG∩MN=M,∴平面MNG∥平面ACD (2)分析:因为△MNG所在的平面与△ACD所在的平面相互平行,因此,求两三角形的面积之比,实则求这两个三角形的对应边之比。解:由(1)可知,∴MG=PH,又PH=AD,∴MG=AD同理:NG=AC,MN=CD,∴MNG∽ACD,其相似比为1:3,∴=1:9 点评:立体几何问题,一般都是化成平面几何问题,所以要重视平面几何。比如重心定理,三角形的三边中线交点叫做三角形有重心,到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍。 例7.如图9-26,P为△ABC所在平面外一点,点M、N分别是△PAB和△PBC的重心.求证:MN∥平面ABC.(三角形的三条中线交于一点,称为重心,重心到一个顶点的距离是该点到对边中点距离的2倍) 解析:如图9-16,连结PM并延长交AB于D,连结PN并延长交BC于E,连结DE.在ΔPAB中,∵M是ΔPAB的重心,∴,同理在△PBC中有,在△PDE中,∵,∴MN∥DE,∵MN平面ABC,DE平面ABC,∴MN∥平面ABC. 例9.如图,在三棱锥S—ABC中,A1、B1、C1分别是ΔSBC、ΔSCA、ΔSAB的重心,(1)求证:平面A1B1C1∥平面ABC;(2)求三棱锥S—A1B1C1与S—ABC体积之比. 解析:本题显然应由三角形重心的性质,结合成比例线段的关系推导出“线线平行”再到“线面平行”到“面面平行”,至于体积的比的计算只要能求出相似三角形面积的比和对应高的

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