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立体几何专题复习——直线与平面所成角的求法学案 【基础回顾】 【问题解决】 例1如图,在五棱锥P—ABCDE中,PA⊥平面ABCDE,AB∥CD,AC∥ED,AE∥BC, SKIPIF1<0ABC=45°,AB=2SKIPIF1<0,BC=2AE=4,三角形PAB是等腰三角形. SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 (Ⅰ)求证:平面PCD⊥平面PAC; (Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的大小; 【变式演练1】如图,正方形A1BA2C的边长为4,D是A1B的中点,E是BA2上的点,将△A1DC及△A2EC分别沿DC和EC折起,使A1A2重合于A,且二面角A—DC—E为直二面角. (1)求BE的长; (2)求AD与平面AEC所成角的正弦值. 【变式演练2】已知三棱锥P-ABC中,PA⊥ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点. (Ⅰ)证明:CM⊥SN; (Ⅱ)求SN与平面CMN所成角的大小. 【思考与收获】 【巩固练习】 1设△ABC和△DBC所在两平面互相垂直,且AB=BC=BD=a,∠CBA=∠CBD=120°,则AD与平面BCD所成的角为() A30° B45° C60° D75° 2.已知长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=BC=4,CC1=2,则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为() A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0 3.PA、PB、PC是从P点出发的三条射线,每两条射线的夹角均为,那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是() A.B.C.D. 4.已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心,则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于() A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0 5.把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的大小为() A.90°B.60°C.45°D.30° 6.如图,四棱锥的底面是正方形,,点E在棱PB上.HYPERLINK"http://www.zxxk.com" (Ⅰ)求证:平面; (Ⅱ)当且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小. 【真题再现】 (09浙江)19.(本题满分14分)如图,平面,,,,分别为的中点.(I)证明:平面;(II)求与平面所成角的正弦值. 20090423 (10浙江)(20)如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=120°,E为线段AB的中线,将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE,使平面A′DE⊥平面BCD,F为线段A′C的中点. (Ⅰ)求证:BF∥平面A′DE; (Ⅱ)设M为线段DE的中点,求直线FM与平面 A′DE所成角的余弦值. (12浙江)20.如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=。AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中点,F是平面B1C1E与直线AA1的交点。 (1)证明:(i)EF∥A1D1; (ii)BA1⊥平面B1C1EF; (2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值。 (13浙江)19.如图,在在四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2, AD=CD=EQ\R(,7),PA=EQ\R(,3),∠ABC=120°,G为线段PC上的点. (Ⅰ)证明:BD⊥面PAC; (Ⅱ)若G是PC的中点,求DG与面APC所成的角的正切值; (Ⅲ)若G满足PC⊥面BGD,求eq\f(PG,GC)的值. 【变式演练详细解析】 【变式演练1详细解析】 (Ⅰ)证明:作MN∥AB交AP于N,连结DN,则MN∥AB∥CD,且SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴CM∥ND,CM∥平面PAD (Ⅱ)∵CM∥ND,∴ND与平面ABCD所成的角为所求. ∵侧面PAD⊥底面ABCD,∴ND在平面ABCD上的射影为AD ∴∠AND为所求;∵⊿PAD是正三角形,N是PA的中点 D C B P A M E ∴CM与底面所成的角为30º. (Ⅲ)延长AD、BC交于点E,连结P、E. 则PE为所

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