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第六章代数系统(抽象代数)就专业知识而言,计算机学科中要培养学生三个能力: 理论抽象设计 理论:就是计算机科学中各种理论课。 抽象:要把实际问题抽象成数学模型(数学系统)。 设计:系统设计、程序设计。 确定数学模型,需要了解有哪些代数结构(系统)。 另外,抽象代数可以培养学生的抽象逻辑思维能力。 本章所讨论的理论,在计算机的编译理论、程序理论、 语义理论、编码理论、计算理论、逻辑设计理论、数据 库理论等都有应用。 本章主要讨论:代数结构(系统)的概念,运算的性质、 代数结构(系统)的同构、半群、独异点、群、环、域等。6-1代数结构(系统)的概念1.定义:设X是个集合,f:XnY是个映射,则称f是X上 的n元运算。(Xn=X×X×...×X--n个X的笛卡尔积), 如果YX,则称运算f在X上是封闭的。 f:XY是个一元运算。前面的-、~是一元运算。f:X2Y是个二元运算。+×÷∧∨∪∩是二元运算。 思考题:下面说法是否正确? 减法-是N上封闭的二元运算。 除法÷是整数I上的二元运算。 除法÷是实数R上的二元运算。 我们主要讨论二元运算。 通常用、、、、、、+等表示抽象的二 元运算。如果用“”表示二元运算f时, 通常将f(<x,y>)=z写成xy=z。2.二元运算的运算表 有时用一个表来表示二元 运算的运算规律。 例如令E={a,b},P(E)上的 ∩运算表如图所示。 再如令X={S,R,A,L}其中 S表示开始时的位置; R表示“向右转”; A表示“向后转”; L表示“向左转”; “”表示转动的复合运算; 其运算表如图所示。 从运算表除了可以看清运算的规律外,可以很容易地看 出运算的性质。二.代数系统的概念6-2二元运算的性质 从运算表看交换性:是以主对角线为对称的表。 三.幂等元、幂等性 设是X上的二元运算,如果有a∈X,aa=a,则称a是 幂等元。如果对任何x∈X,都有xx=x,则称有幂等性. 从运算表看幂等元、幂等性:看主对角线的元素与上表头(或左表头)元素相同。 请看上述∩的运算表 ∩有幂等性。四.幺元(单位元、恒等元) 设是X上的二元运算,如果有eL∈X,使得对任何x∈X, 有eLx=x,则称eL是相对的左幺元。如果有eR∈X,使 得对任何x∈X,有xeR=x,则称eR是相对的右幺元。 如果eL=eR=e,对任何x∈X,有ex=xe=x,称e是相对 的幺元。 对加法+,幺元是0, 对乘法×,幺元是1, 对并运算∪,幺元是Φ, 对交运算∩,幺元是全集E, 从运算表中找幺元(如表所示) 从运算表找左幺元eL:eL所在行的各元素均与上表头元 素相同。如S行,所以S是eL。 从运算表找右幺元eR:eR所在列的各元素均与左表头元 素相同。如S列,所以S是eR。定理6-2.1.设是X上的二元运算,如果有左幺元eL∈X,也有右幺元eR∈X,则eL=eR=e,且幺元e是唯一的。 证明:因为eL是左幺元,又eR∈X,所以eLeR=eR 因为eR是右幺元,又eL∈X,所以eLeR=eL 于是eL=eR=e。 下面证明幺元的唯一性。 假设有两个幺元e1、e2, 因为e1是幺元,又e2∈X,所以e1e2=e2 因为e2是幺元,又e1∈X,所以e1e2=e1 则e1=e2=e。所以幺元是唯一的。 思考题.减法运算是否有幺元?五.零元 设是X上的二元运算,如果有θL∈X,使得对任何 x∈X,有θLx=θL,则称θL是相对的左零元。如果 有θR∈X,使得对任何x∈X,有xθR=θR,则称θR 是相对的右零元。如果θL=θR=θ,对任何x∈X,有 θx=xθ=θ,称θ是相对的零元。 例如:对乘法×,零元是0, 对并运算∪,零元是全集E, 对交运算∩,零元是Φ, 从运算表找零元 左零元θL:θL所在行的各元素均与左表头元素相同。 如Φ行,所以Φ是θL。 右零元θR:θR所在列的各元素均与上表头元素相同。 如Φ列,所以Φ是θR。 所以θ=Φ定理6-2.2.设是X上的二元运算,如果有左零元θL∈X,也有右零元θR∈X,则θL=θR=θ,且零元θ是唯一的。 证明的方法与前定理类似,从略。 定理6-2.3.设<X,>是代数系统,且|X|>1。如果该代数系统中存在幺元e和零元θ,则θ≠e. 证明:用反证法。假设θ=e,那么对任意xX, 必有x=ex=θx=θ=e 于是,X中所有元素都是相同的,这与|X|>1矛盾。 所以θ≠e。六.可结合性 设是X上的二元运算,如果对任何x,y,z∈X,有 (xy)z=x(yz),则称是可结合的。 例:数值的加法、乘法,集合的交、并、对称差, 关系的复合、函数的复合,命题的合取、析取等。 若是可结合的运

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