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2024-08-16
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《离散数学》期末复习大纲(完整版)(含例题和考试说明)
一、命题逻辑
[复习知识点]
1、命题与联结词(否定¬、析取∨、合取∧、蕴涵→、等价↔),复合命题
2、命题公式与赋值(成真、成假),真值表,公式类型(重言、矛盾、可满足),公式的基本等值式
3、范式:析取范式、合取范式,极大(小)项,主析取范式、主合取范式
4、公式类型的判别方法(真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法)
5、命题逻辑的推理理论
本章重点内容:命题与联结词、公式与解释、(主)析取范式与(主)合取范式、公式类型的判定、命题逻辑的推理
[复习要求]
1、理解命题的概念;了解命题联结词的概念;理解用联结词产生复合命题的方法。
2、理解公式与赋值的概念;掌握求给定公式真值表的方法,用基本等值式化简其它公式,公式在解释下的真值。
3、了解析取(合取)范式的概念;理解极大(小)项的概念和主析取(合取)范式的概念;掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取(合取)范式的方法。
4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价方法。
5、掌握命题逻辑的推理理论。
[疑难解析]
1、公式类型的判定
判定公式的类型,包括判定公式是重言的、矛盾的或是可满足的。具体方法有两种,一是真值表法,二是等值演算法。
2、范式
求范式,包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。关键有两点:一是准确理解掌握定义;另一是巧妙使用基本等值式中的分配律、同一律和互补律(排中律、矛盾律),结果的前一步适当使用幂等律,使相同的短语(或子句)只保留一个。
3、逻辑推理
掌握逻辑推理时,要理解并掌握12个(除第10,11)推理规则和3种证明法(直接证明法、附加前提证明法和归谬法)。
例1.试求下列公式的主析取范式:
(1);(2)
(






)

2.用真值表判断下列公式是恒真?恒假?可满足?
(1)(PP)Q
(2)(PQ)Q
(3)((PQ)(QR))(PR)
解:
真值表
PQPPP(PP)Q00101011001000111000因此公式(1)为可满足。
真值表
PQPQ(PQ)(PQ)Q00100011001001011100因此公式(2)为恒假。
真值表
PQRPQQRPR((PQ)(QR))(PR)00011110011111010101101111111000101101011111010011111111因此公式(3)为恒真。

3.┐Q(P→Q)蕴涵┐P
(an:法1:真值表
法2:若┐Q(P→Q)为真,则┐Q,P→Q为真,
所以Q为假,P为假,所以┐P为真。
法3:若┐P为假,则P为真,再分二种情况:
①若Q为真,则┐QÙ(P→Q)为假
②若Q为假,则P→Q为假,则┐Q(P→Q)为假
根据①②,所以┐Q(P→Q)蕴涵┐P。)

4.利用基本等价式证明下列命题公式为恒真公式。
((PQ)(QR))(PR)
((PQ)(P(QR)))(PQ)(PR)
(1、证明:
((PQ)(QR))(PR)
=((PQ)(QR))(PR)
=((PQ)(QR))(PR)
=(PQ)(QR)PR
=((PQ)P)((QR)R)
=(1(QP))((QR)1)
=QPQR
=(QQ)PR
=1PR
=1

((PQ)(P(QR)))(PQ)(PR)
=((PQ)(P(QR)))(P(QR))
=(P(QQR))(P(QR))
=(P(QR))(P(QR))
=1)

5.用形式演绎法证明:{}蕴涵
证明:
(1)规则P
(2)规则Q(1)
(3)规则P
(4)规则Q(3)
(5)规则Q(2)(4)
(6)RS规则P
(7)PS规则Q(5)(6))

6.用形式演绎法证明:(蕴涵A
证明:(改()
(1)A规则D
(2)A∨B规则Q(1)
(3)规则P
(4)规则Q(2)(3)
(5)D规则Q(4)
(6)规则Q(5)
(7)规则P
(8)E规则Q(6)(7)
(9)规则Q(1)(8))
7.┐(P∧┐Q),┐Q∨R,┐R蕴涵┐P
(1)┐Q∨R
		(2)┐R
		(3)┐Q
		(4)┐(P∧┐Q)
		(5)┐P∨Q
		(6)┐P)
8.某案涉及甲、乙、丙、丁四个,根据已有线索,已知:
若甲、乙均未作案,则丙、丁也均未作案;
若丙、丁均未作案,则甲、乙也均未作案;
若甲与乙同时作案,则丙与丁有一人且只有一人作案;
若乙与丙同时作案,则
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