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第八章直线和圆的方程
数学基础模块下册




8.2.3直线方程的几种形式(一)
【教学目标】
1.掌握直线的点斜式、斜截式,能根据条件熟练地求出直线的点斜式和斜截式方程.
2.了解根据直线上两点坐标求直线方程的方法.
3.让学生从学习中进一步体会用代数方法解决几何问题的优点,体会用数形结合的方法解决问题的魅力.
【教学重点】
直线的点斜式与斜截式方程.
【教学难点】
理解直线的点斜式方程的推导过程.
【教学方法】
这节课主要采用讲练结合、小组合作探究的教学法.引导学生理解推导直线方程的点斜式的过程,认识到点斜式直线方程与斜率坐标公式之间的关系.对于直线方程的斜截式,要使学生认识到斜截式是点斜式的特殊情形.教材在例2中给出了已知两点求直线方程的方法,教师可针对学生的实际情况补充直线方程的两点式,但要求不宜过高.
【教学过程】
环节教学内容师生互动设计意图引
入1.直线倾斜角的定义及范围是什么?
2.已知P1(x1,y1)和P2(x2,y2)且x1≠x2,则直线的斜率是多少?
3.观察下图.
x
y
O
60
60
60





教师提出问题,学生回答,师生共同补充点评.

师:给定一个角=60.由角能确定一条直线吗?
生:不能.
师:我们知道k=tan,给定一个斜率k,由斜率k能确定一直线吗?
生:不能.引入本节课题.

由直观图形引入问题,激发学生学习兴趣.






新
课





























新
课
































新
课

探究一
如果直线的倾斜角为60(即斜率为EQ\R(,3)),而且通过点(0,0),那么这样的直线是唯一的吗?

探究二
若直线l经过点P0(1,2),且斜率为EQ\R(,3),求直线l的方程.
设直线l上不同于P0的任意一点的坐标为P(x,y),由斜率公式得
k=EQ\F(y-2,x-1)=EQ\R(,3)(x≠1),
整理变形为y-2=EQ\R(,3)(x-1).
经验证,(1,2)点符合上式,此方程为所求直线方程.

探究三
若直线l经过点P1(x0,y0),且斜率为k,求l方程.
设点P(x,y)是直线上不同于点P1的任意一点,根据经过两点的直线的斜率公式得
k=EQ\F(y-y0,x-x0),
可化为y-y0=k(x-x0).
点斜式方程为
y-y0=k(x-x0).

斜截式方程:
(1)如果直线的斜率为k,直线与y轴交点为(0,b),你能写出这条直线的方程吗?
(2)斜截式方程
y=kx+b;
(3)b是直线在y轴上的截距.

例1求下列直线的方程:
(1)过点(0,0),斜率为2;
(2)过点(4,5),斜率为1;
(3)过点(5,5),倾斜角为0;
(4)过点(1,2),倾斜角为30;
(5)截距为-3,倾斜角为45.
解(1)直线的方程为y-0=2(x-0),即y=2x;
(2)直线的方程为y-5=1(x-4),即y=x+1;
(3)直线的斜率为k=tan0=0,因此方程为y-5=0(x-5),即y=5.
(4)直线的斜率为k=tan30=eq\f(\r(3),3),因此方程为y-2=eq\f(\r(3),3)(x-1),即y=eq\f(\r(3),3)x+2-eq\f(\r(3),3);
(5)直线的斜率为k=tan45=1,因此方程为y=1x+(-3),即y=x-3.

练习一
求下列直线的方程:
(1)过点(-3,2),斜率为-1;
(2)过点(1,2),倾斜角为60;
(3)截距为-2,倾斜角为45.

例2求下列直线的方程:
(1)过点(0,0)和(1,5);
(2)过点(5,0)和(0,6).
解(1)直线的斜率
k=EQ\F(5-0,1-0)=5,
所以直线方程为y-0=5(x-0),即
y=5x;
(2)直线的斜率
k=EQ\F(6-0,0-5)=-EQ\F(6,5),
所以由直线的斜截式方程得
y=-EQ\F(6,5)x+6.

练习二
求过点(-2,2)和(0,-2)的直线方程.
师:上一节,我们学习了直线的斜率公式,它也是我们继续学习推导直线方程的基础.


师:直线l的方程也就是直线上任意一点所应满足的方程.
师:如何用P0,P两点的坐标表示直线l的斜率?
师:点(1,2)也满足方程y-2=EQ\R(,3)(x-1)吗?
师:如果把上述求直线方程的过程推广到一般情形,即可得到直线方程的点斜式.


请同学们仿照上面方式推导直线l的方程.
学生推导公式,教师巡视.
师问:(1)这个方程是由哪两个条件确定的?
(2)当直线l的倾斜角为0°时,
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