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用Laurent级数的展开式计算积分 根据罗朗展开定理及罗朗级数的性质,得 设内的Laurent级数:0即计算留数的一般公式规则1o若z0为f(z)的一阶极点,则有规则3为的一级极点,典型例题例2求如果利用Laurent展开式求系数c-1较方便:说明:例3.求下列函数在指定点处的留数 (1),;另解:在点的去心邻域内的Laurent级数为(2),;注证明首先在C的内部,环绕f(z)的每个奇点zk作互 不相交且互不包含的正向小圆周Ck例1计算积分21例2.计算积分最后由留数定理得其积分值为例3计算积分例4计算积分所以设函数f(z)在扩充复平面上只有有限个孤立定理若函数f(z)在环域内解析,则对包 含圆|z|=R的任一条正向简单闭曲线C有定理若函数f(z)在环域内解析,则对包含圆|z|=R的任一条正向简单闭曲线C有例5计算下列积分,其中积分闭路取正向. (1)例5计算下列积分,其中积分闭路取正向. (2)1若z0为函数f(z)的可去奇点(负幂项的项数为零个),则它在点z0的留数为零。5设f(z)=P(z)/Q(z),其中P(z)和Q(z)在点z0都解析。 若,Q(z0)=0且,则z0为f(z)的一级 极点,且有留数定理

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