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点集拓扑 拓扑是英文Topology的译音,Topology一词有时是指拓扑,有时是指研究有关拓扑的整个学科.拓扑学是数学的一个重要分支.起初它是几何学的一个分支,研究几何图形在连续变形上保持不变的性质,后来发展为研究连续性现象的数学分支.拓扑学发展到近代形成了互相联系的几个分支.即一般拓扑学、代数拓扑学、微分拓扑学与几何拓扑学等.目前,拓扑学的概念、理论和方法已经广泛地渗透到现代数学以及邻近科学的许多领域中,并且有了日益重要的应用. 研究拓扑空间的自身结构与其间的连续映射的学科,称为一般拓扑学,也称为点集拓扑学,它是拓扑学的基础.本部分介绍一般拓扑学的基本内容,并为进一步学习有关其它课程提供必要的基础知识. 第1章拓扑空间 拓扑空间的概念产生于对实直线、欧氏空间以及这些空间上的连续函数的研究,是欧氏空间的一种推广.本章介绍拓扑空间的概念,给出与拓扑空间相关的一些重要的拓扑概念的定义,以及它们的性质. §1.1拓扑空间,拓扑的基与子基 拓扑空间的定义有多种等价形式.这里采用比较简洁也是目前最为流行的方式给出拓扑空间的定义. 定义1.1.1设是非空集,TP()即T是集合的子集族),若满足: (1)T; (2)T的任意多个元素的并属于T; (3)T的有限元素的交属于T, 则称T为集合上的一个拓扑或拓扑结构,偶对(,T)称为拓扑空间(当拓扑自明而无需指明时,简称为拓扑空间).简称为空间,称为拓扑空间(,T)的基础集,T的元素称为(,T)的开集或T–开集,的元素,子集分别称为拓扑空间(,T)的点,点集. 定义1.1.1中的条件(1),(2)与(3)称为开集公理. 例1设是非空集,T,则T是集合上的拓扑,称为集合上的平凡拓扑,(,T)称为平凡拓扑空间. 例2设,T,则T是集合上的拓扑,集合上赋予这一拓扑的拓扑空间,称为Sierpinski(西尔宾斯基)空间. 例3设是非空集,TP(),则T是集合上的拓扑,称为集合上的离散拓扑,拓扑空间(T,P())称为离散空间. 例4.设是非空集,令T=是的有限子集,则T是集合上的拓扑,称为集合上的余有限拓扑,拓扑空间(,T)称为余有限拓扑空间. 证明即证T满足定义1.1.1中三个条件.事实上, (1)由T的定义可知T;若取,则是有限集.所以T. (2)设T.若或,则T;若,则都是有限集.于是是有限集,所以T. (3)设对于任意T,其中为指标集.若对于任意,则T;若存在使得,则.但是有限集,所以T. 综上所证.可知T是集合上的拓扑. 例5设,T=,T=, T=,则T,T都是集合上的拓扑.于是T与T都是拓扑空间.因为是T开集,但不是T开集,所以 T与T是两个不同的拓扑空间,虽然它们的基础集相同.由于T,T,于是T不满足定义1.1.1中条件(2),所以T不是集合上的拓扑. 定义1.1.2设T,T是集合上的两个拓扑.若TT,则称拓扑T小于(或粗于)T,并且称拓扑T大于(或细于)拓扑T. 明显地,同一个非空集上可以赋予许多拓扑,这些拓扑依据集族的包含关系决定拓扑的粗、细或不可比较,其中平凡拓扑是最粗的,离散拓扑是最细的. 定义1.1.3设(,T)是拓扑空间,BP.若BT,并且T的元素都可表示为B中某些元素的并,则称B是拓扑T的基,也称为拓扑空间(,T)的基或拓扑基,B中的元素称为基开集. 例6设(,T)是任意拓扑空间,则T就是它的基. 例7设是非空集,令B=,则B是集合上的离散拓扑的基. 定理1.1.4设(,T)是拓扑空间,BT,则下列条件等价: (1)B是拓扑T的基; (2)对于任意T,任意,存在B,使得. 证明.对于T,因为B是T的基,从而, 其中B.所以对于任意存在,使得. .任取T,因为对于任意存在B,使得,于是.又BT.所以B是T的基. 定理1.1.5设B是非空集的一个子集族,则B是集合上的某一拓扑的基当且仅当B满足下列条件; (1); (2)对于任意B,可表示为B中元素的并. 若B满足上述两个条件,则集合上以B为基的拓扑是唯一的,此拓扑称为以B为基生成的集合上的拓扑. 证明设B是集合上的某一拓扑T的基,则由拓扑基的定义可知. (1); (2)对于任意B,因为BT,于是T.所以可表示为B中元素的并. 反之,记T=可表示为B中元素的并,即T是B中元素的一切任意并之族,则 1)由条件(1)可知T.因为B,所以T; 2)设T,则都可表示为B中元素的并,即与.其中B.于是 . 但从条件(2)可知是B中元素的并,从而也可表示为B中元素的并,所以T. 3)设对于T,则可表示为B中的并,于是也可表示为B中元素的并,所以T. 综上可知,T是集合上的拓扑,并且以B为基. 若集合上另有拓扑T也以B为基,则T的元素都是B中元素的并.于是TT;反之,若T,则可表示为B中元素的并.但是BT,T是集合上的拓扑

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