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点集拓扑

拓扑是英文Topology的译音，Topology一词有时是指拓扑，有时是指研究有关拓扑的整个学科.拓扑学是数学的一个重要分支.起初它是几何学的一个分支，研究几何图形在连续变形上保持不变的性质，后来发展为研究连续性现象的数学分支.拓扑学发展到近代形成了互相联系的几个分支.即一般拓扑学、代数拓扑学、微分拓扑学与几何拓扑学等.目前，拓扑学的概念、理论和方法已经广泛地渗透到现代数学以及邻近科学的许多领域中，并且有了日益重要的应用.
研究拓扑空间的自身结构与其间的连续映射的学科，称为一般拓扑学，也称为点集拓扑学，它是拓扑学的基础.本部分介绍一般拓扑学的基本内容，并为进一步学习有关其它课程提供必要的基础知识.

第1章拓扑空间

拓扑空间的概念产生于对实直线、欧氏空间以及这些空间上的连续函数的研究，是欧氏空间的一种推广.本章介绍拓扑空间的概念，给出与拓扑空间相关的一些重要的拓扑概念的定义，以及它们的性质.

§1.1拓扑空间，拓扑的基与子基

拓扑空间的定义有多种等价形式.这里采用比较简洁也是目前最为流行的方式给出拓扑空间的定义.
定义1.1.1设是非空集,TP()即T是集合的子集族），若满足：
（1）T；
（2）T的任意多个元素的并属于T；
（3）T的有限元素的交属于T，
则称T为集合上的一个拓扑或拓扑结构，偶对(,T)称为拓扑空间（当拓扑自明而无需指明时，简称为拓扑空间）.简称为空间，称为拓扑空间(,T)的基础集，T的元素称为(,T)的开集或T–开集,的元素,子集分别称为拓扑空间(,T)的点，点集.
定义1.1.1中的条件（1），（2）与（3）称为开集公理.
例1设是非空集，T，则T是集合上的拓扑，称为集合上的平凡拓扑，（,T)称为平凡拓扑空间.
例2设，T，则T是集合上的拓扑，集合上赋予这一拓扑的拓扑空间，称为Sierpinski（西尔宾斯基）空间.
例3设是非空集，TP（），则T是集合上的拓扑，称为集合上的离散拓扑，拓扑空间（T，P（））称为离散空间.
例4.设是非空集，令T＝是的有限子集，则T是集合上的拓扑，称为集合上的余有限拓扑，拓扑空间(,T)称为余有限拓扑空间.
证明即证T满足定义1.1.1中三个条件.事实上，
（1）由T的定义可知T；若取,则是有限集.所以T.
（2）设T.若或,则T;若,则都是有限集.于是是有限集，所以T.
（3）设对于任意T,其中为指标集.若对于任意,则T;若存在使得,则.但是有限集，所以T.
综上所证.可知T是集合上的拓扑.
例5设,T＝,T＝,
T＝,则T，T都是集合上的拓扑.于是T与T都是拓扑空间.因为是T开集，但不是T开集，所以
T与T是两个不同的拓扑空间，虽然它们的基础集相同.由于T，T，于是T不满足定义1.1.1中条件（2），所以T不是集合上的拓扑.
定义1.1.2设T，T是集合上的两个拓扑.若TT，则称拓扑T小于（或粗于）T，并且称拓扑T大于（或细于）拓扑T.
明显地，同一个非空集上可以赋予许多拓扑，这些拓扑依据集族的包含关系决定拓扑的粗、细或不可比较，其中平凡拓扑是最粗的，离散拓扑是最细的.
定义1.1.3设(,T)是拓扑空间，BP.若BT，并且T的元素都可表示为B中某些元素的并，则称B是拓扑T的基，也称为拓扑空间(,T)的基或拓扑基，B中的元素称为基开集.
例6设(,T)是任意拓扑空间，则T就是它的基.
例7设是非空集，令B＝,则B是集合上的离散拓扑的基.
定理1.1.4设(,T)是拓扑空间，BT，则下列条件等价：
（1）B是拓扑T的基；
（2）对于任意T,任意,存在B,使得.
证明.对于T,因为B是T的基，从而，
其中B.所以对于任意存在，使得.
.任取T,因为对于任意存在B，使得，于是.又BT.所以B是T的基.
定理1.1.5设B是非空集的一个子集族，则B是集合上的某一拓扑的基当且仅当B满足下列条件；
（1）;
（2）对于任意B,可表示为B中元素的并.
若B满足上述两个条件，则集合上以B为基的拓扑是唯一的，此拓扑称为以B为基生成的集合上的拓扑.
证明设B是集合上的某一拓扑T的基，则由拓扑基的定义可知.
（1）;
（2）对于任意B，因为BT，于是T.所以可表示为B中元素的并.
反之，记T＝可表示为B中元素的并，即T是B中元素的一切任意并之族，则
1）由条件（1）可知T.因为B，所以T;
2)设T,则都可表示为B中元素的并，即与.其中B.于是
.
但从条件（2）可知是B中元素的并，从而也可表示为B中元素的并，所以T.
3）设对于T，则可表示为B中的并，于是也可表示为B中元素的并，所以T.
综上可知，T是集合上的拓扑，并且以B为基.
若集合上另有拓扑T也以B为基，则T的元素都是B中元素的并.于是TT；反之，若T,则可表示为B中元素的并.但是BT，T是集合上的拓扑