浅谈逆矩阵的求法.doc

吉林师范大学
毕业论文（设计）
论文分类号：O151.21
密级：无

浅谈逆矩阵的求法

学院、专业：数学学院数学与应用数学
学生姓名：赵殿钰
年级班：2007级3班
指导教师：范钦杰(教授)

2011年4月15日

浅谈逆矩阵的求法
赵殿钰
(吉林师范大学数学学院2007级3班吉林四平136000)
指导教师：范钦杰（教授）

摘要：为了更便捷地解决求矩阵的逆,本文根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法.定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法、解方程组法、用克莱姆法则求解、行列式法、恒等变形法、利用Hamiton_Caley定理法、拼接新矩阵等多种方法求逆矩阵,并对部分进行了简要论证.
关键字：逆阵法；分块矩阵；初等变换；伴随矩阵
中图分类号：O151.21

OntheInverseMatrixMethod
ZhaoDian-yu
(Class3Grade2007,DepartmentofMathematics,JilinNormalUniversity,SipingJilin136000)
DirectiveTeacher:FanQin-jie(professor)

Abstract:Inordertomoreeasilysolvetheinverseofamatrix,thismatrixaccordingtothedifferentcharacteristicsofthedifferentintroducedseveralsimpleinversematrixmethod.thedefinitionoflaw,withthematrixmethod,elementarytransformation,blockmatrixmethod,solveequationsbytheuseofCramer'sruletosolvethedeterminantmethod,identicaldeformationmethod,theuseofHamiton_CaleyTheorem,splicingandothermethodstofindnewmatrixinverse,andpartofabriefdemonstration.
Keywords：theinverseofamatri；blockmatrix；elementarytransformation；withthematrix
CLCNO:O151.21

1、逆矩阵的概念
定义：设A是数域P上的一个n阶方阵，如果存在P上的n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称A是可逆的，又称B为A的逆矩阵.当矩阵A可逆时，逆矩阵由A惟一确定，记为A-1.
2、矩阵可逆的条件
（1）n阶方阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0（也即r（A）=n）；
（2）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以通过初等变换（特别是只通过初等行（列）变换）化为n阶单位矩阵；
（3）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以写成一些初等矩阵的乘积；
（4）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个特征值不为零；
（5）对于n阶方阵A，若存在n阶方阵B使得AB=E（或BA=E），则A可逆，且A-1=B.
3、逆矩阵的性质
设A，B是n阶可逆矩阵，则
（1）（A-1）-1=A；
（2）若k≠0，则kA可逆，且（kA）-1=EQEQ\F(1,k)A-1；
（3）AB可逆，且（AB）-1=B-1A-1；
（4）AT可逆，且（AT）-1=（A-1）T；
（5）Ak可逆，且（Ak）-1=（A-1）k；
（6）|A-1|=|A|-1；
（7）如果A是m×n矩阵，P是m阶可逆矩阵，Q是n阶可逆矩阵，则r（A）=r（PA）=r（AQ）=r（PAQ）.
4、求矩阵逆的方法
方法1定义法：设A是数域P上的一个n阶方阵，如果存在P上的n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称A是可逆的，又称B为A的逆矩阵.当矩阵A可逆时，逆矩阵由A惟一确定，记为A-1.
例1：设A为n阶矩阵，且满足，求A-1.
【解】

方法2伴随矩阵法：A-1=EQEQ\F(1,|A|)A*.
定理n阶矩阵A=aij为可逆的充分必要条件是A非奇异.且
其中Aij是|A|中元素aij的代数余子式.矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，
记作A*，于是有A-1=EQEQ\F(1,|A|)A*.
注①对于阶数较低（一般不超过3阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.注意A*=（Aji）n×n元素的位置及符号.特别对于2阶方阵，其伴随矩阵,即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律.
②对于分块矩阵不能按上述规律求伴随矩阵.
例2：已知，求A-1.
【解】∵|A|=2≠0
∴A可逆.由