浅谈近世代数中与素数有关的结论.doc

淮阴师范学院毕业论文(设计)

摘要：本文给出了近世代数中与素数有关的概念,结论及若干应用.

关键词：素数，群，环，域

Abstract:Inthisarticle,wegivesomedefinitions,conclusionsandapplicationsaboutprimenumbersinAbstractAlgebra.

Keywords:primenumber，group，loop，domain

目录

1引言……………………………………………………………4
2在群中有关素数的结论……………………………………4
3在环中有关素数的结论……………………………………6
4在域中有关素数的结论………………………………………9
结论………………………………………………………………12
参考文献…………………………………………………………13
致谢………………………………………………………………14

1引言
素数在研究近世代数的过程中占有一个很重要的地位，本文介绍了近世代数中有关素数的一些基本性质，并探讨了一些常见结论.本文主要是从近世代数中群，环，域三个方面而谈.
群
下面给出群中的一些重要定理及推论：
定理1设是有限群，，为素数，，，则
(i)(存在定理)中有子群，且（这里的闭区间记号表示整数范围）有阶子群,
(ii)(包含定理)每一个子群被包含在一个子群之中,
(iii)(共轭定理)中任何两个子群互相共轭,
(iv)(计数定理)中子群的个数记作，且有和，其中为任一子群，为的正规化子.
推论1素数阶的群都是循环群.
下面的例子是以上定理推论的应用或推广：
例1设和是两个素数，证明:任一阶群都不是单群.(如果只有平凡的正规子
群，且)，则称为单群.)
证明若阶群是阿贝尔群，从而它有阶子群.因为阿贝尔群的子群都是正规
的,所以不是单群.
若，不妨设，而，只能.故只有一个子群，它是正规子群.所以不是单群.
综上所述，命题得证.
例2设是一个阶大于1的群，证明：只有平凡子群为素数阶循环群.
证明(必要性)设（是素数），.
由拉格朗日定理得
.
所以
,
即
,
故群只有平凡子群.
（充分性）因为，所以存在.设,但是由于假设可得.
(1)当时，是的平凡子群，与假设矛盾.
(2)当是合数时，即
,
则
.
从而是的平凡子群，与假设矛盾.故是素数，即是素数阶循环群.
例3设是两个不同的素数，是交换群，且.证明:是循环群.
证明设，则，且.
若，则.
若，因为是素数，所以可设，
于是
.
令，
则
且.
于是
.
当时，可得
.
当时，因为是交换群，是两个不同的素数，
所以
,
因此
.
综上所述，是循环群.
例4设是素数，阶为的群称为-群.证明:-群一定有一个阶子群.
证明设群,,.
(1)当时，可得
.
(2)当时，可令

从而
，
所以
.
故-群一定含有阶子群.
2环
环是具有两种代数运算的代数系，它也是近世代数中一个重要的分支，这里给出有关环的一些基本概念.
定义1一个有单位元，无零因子的交换环称为整环.
定义2设是交换环，是的一个理想.若对或则
称是的素理想.
定义3设是环的一个真理想，若对于的理想，,则称是的极大理想.
下面给出环中有关素数的一些结论及例题：
结论1设是素数，则是整数环的素理想.
结论2设是素数，则是整数环的极大理想.
例5设是偶数环，是素数，问是不是极大理想，是不是素理想?
解设是的理想，且,由于没有单位元,所以
.
因为,于是存在，且是偶数，从而与的最大公约元
为，则存在,使得.
由于,
所以
，
因此
，
故是极大理想.
(1)当时，取,于是
，
但由于|，，即
.
又因为
.
所以当时，不是素理想.
(2)当时，若，从而
.
因为都是偶数，于是设.故.又因为与的最大公约
元为.所以由，
即
.
因此.
所以当时，是素理想.
例6设是素数,则是整数环的极大理想.
证明首先,从而.又设有的理想，使,则存在.
因为,所以.又由于是素数，从而，即
.
因为所以
.
从而
.
因此是整数环的极大理想.
例7是大于的素数，，则在中有解的充要条件是，并由此证明当是形如的素数时，不是中的元素.
证明（充分性）因为有解，所以存在使得
.
从而
.
（必要性）当时，下面分两种情况讨论：
(1)当时，有.故是的一个解.
(2)当时，是循环群，任取一生成元，有.
可设，由得.
因为，所以
.
故
.
令，得
.
所以有解.
取，当时，成立.
所以方程有解.
即有使

又因为
.
所以
.
又因为
和.
故不是素元.
3域
域是一种特殊的环，所有有关环的性质都适合域，而且有些性质更为简单.