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第十五讲《§2分式线性映射》
§2分式线性映射
一、分式线性映射定义
分式线性映射是共形映射中比较简单但很重要的一类映射，它的一般形式：

其中均为常数。
是为了保证映射的保角性成立而限定的。否则

将有，这时常数，它将整个平面映射成上的一个点。
将解出，即得逆映射：

分式线性映射的逆映射也是分式线性映射。
容易知道两个分式线性映射的复合仍是分式线性映射。
任何一个分式线性映射都能分解成一些简单分式线性的复合。设

用除法可以把它化为

令，那么
为常数）
由此可见，一个一般的分式线性映射是由下列三种分式线性映射复合而成：

现在来讨论这三种映射。为了方便，我们暂且将平面与平面重合。
。这是一个平移映射。因为复数相加可以化成向量相加，所以在映射之下，沿向量（即复数所表示的方向）的方向平行移动一段距离后，就得到。
。这是一个旋转与伸长（或缩短）映射。事实上，设，那么。因此，把先旋转一个角度，再将伸长（或缩短）到倍后得到（图6.6）.
，这个映射可以分解为

为了用几何方法从作出，首先给出关于一已知圆周的对称点的概念。
定义设为以原点为心，为半径的圆周。在以圆心为起点的一条半直线上，如果有两点满足关系式

则称这两点为关于圆周的对称点。
规定：圆心关于圆周的对称点为无穷远点。
若已知一个点在圆周外，如何作出它关于圆周的对称点？从作圆周的切线，由的垂直线交于，那么即互为对称点
如果设，那么，从而。由此可知，与是关于单位圆周的对称点，是关于实轴的对称点。因此，要从出发作出，应先作出点关于圆周对称的点，然后再作出点关于实轴对称的点，即得（图6.8）

分式线性映射的性质

以上我们讨论了一般的分式线性映射可以由简单的分式线性映射复合而成。下面讨论分式线性映射的性质。
保角性
首先讨论映射。根据第一章第二节第二段规定的关于的运算法则知，这个映射将映射成，也就是说，当时，。如果把改写成，可知当时，。由此可见，在扩充复平面上映射是一一对应的。由于当时，；时，；时，。因此，映射通常称为反演变换。又因为

当。所以除去外，映射是共形映射。至于处是否是共形映射，就关系到我们如何理解两条曲线在无穷远点处夹角的涵义问题。
规定：两条伸向无穷远点的曲线在无穷远点处的夹角，等于它们在映射下所映成的通过原点的两条曲线的夹角，那么映射处解析，且，所以映射处，即映射在处是共形的。再由知在处映射是共形的，也就是说在处映射是共形的。所以映射在扩充复平面上是处处共形的，为一共形映射。
其次我们讨论由与构成的映射进行讨论。显然，这个映射在扩充复平面上是一一对应的。又因为，所以当时，映射是共形映射。为了证明在处它也是共形的，我们令

这时映射成为

它在处解析，且有

因而在处是共形的，即处是共形的。所以，映射在扩充复平面上是处处共形的，为一共形映射。
由于分式线性映射是由上述三种映射复合而成的，因此我们有下面的定理。
定理一分式线性映射在扩充复平面是一一对应的，且具有保角性。
保圆性
我们还要指出，映射都具有将圆周映射成圆周的性质。
由上面的讨论知，映射是将平面内的一点经过平移、旋转和伸缩而得到像点。因此，平面内的一个圆周或一条直线经过映射所得的像曲线仍然是一个圆周或一条直线。如果我们把直线看成是半径为无穷大的圆周，那么这个映射在扩充复平面上把圆周映射成圆周。这个性质称为保圆性。
下面证明映射也具有保圆性。令

将代入，得

或

因此，映射将方程

变为方程

当然，在这种情况下，可能是将圆周映射成圆周（当）；圆周映射成直线（，）；直线映射成圆（）以及直线映射成直线（）。这就是说，映射把圆周映射圆周。或者说：映射具有保圆性。所以我们有
定理二分式线性映射将扩充平面上的圆周映射成扩充平面上的圆周，即具有保圆性。
根据保圆性，容易推得：在分式线性映射下，如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点，那末它就映射成半径为有限的圆周；如果有一个点映射成无穷远点，那末它就映射成直线。
保对称性
分式线性映射，除了保角性、保圆性之外，还有保持对称点不变的性质，简称保对称性。
为了证明这个性质，我们先来阐明对称点的一个重要性质。
性质点是关于圆周的一对对称点的充要条件是经过的任何圆周与圆周正交.
证明从作的切线，设切点为。由平面几何学知，这条切线长度的平方等于的割线长度和它在外部分长度的乘积；而这一乘积根据是关于圆周的的对称点的定义，又等于。所以。这表明在圆周上，而的切线就是的半径，因此与正交。
反过来，设是经过且与正交的任意圆周，那末连接的直线作为的特殊情形（半径为无穷大）必与正交，因而必过。又因与于交点处正交，因此的半径就是的切线。所以有

即是关于圆周的一对对称点。
定理三设点是关于圆周的一对对称点，那末在分式线性映射下，它们的像点是关于圆周的像曲线的一对对称点。
证明设经过