概率论与数理统计浙大四版习题答案第五章.doc

第五章大数定理和中心极限定理

1．[一]据以往经验某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现在随机的抽取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率。
解：设第i只寿命为Xi，（1≤i≤16），故E(Xi)=100，D(Xi)=1002(l=1,2,…,16).依本章定理1知

从而
3．[三]计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在（－0.5，0.5）上服从均匀分布，
（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？
（2）几个数相加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90
解：
（1）设取整误差为Xi（，1500），它们都在（－0.5,0.5）上服从均匀分布。
于是：

8．某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8，医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？（2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？
解：设X为100人中治愈的人数，则X～B(n,p)其中n=100
（1）

（2）p=0.7由中心极限定理知

7．[七]一复杂的系统，由100个互相独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10。为了整个系统起作用至少必需有85个部件工作。求整个系统工作的概率。
（2）一个复杂的系统，由n个互相独立起作用的部件所组成，每个部件的可靠性（即部件工作的概率）为0.90。且必须至少有80%部件工作才能使整个系统工作，问n至少为多少才能使系统的可靠性不低于0.95。
解：（1）设每个部件为Xi(i=1,2,……100)

设X是100个相互独立，服从（0－1）分布的随机变量Xi之和
X=X1+X2+……+X100
由题设知 n=100P{Xi=1}=p=0.9,P{Xi=0}=0.1
E(Xi)=p=0.9
D(Xi)=p(1－p)=0.9×0.1=0.09
n·E(Xi)=100×0.9=90,nD(Xi)=100×0.09=9

=
= 由中心极限定理知

查标准正态分布表
=φ(1.67)
=0.9525
解：（2）设每个部件为Xi(i=1,2,……n)

P{Xi=1}=p=0.9,P{Xi=0}=1－p=0.1
E(Xi)=p=0.9, D(Xi)=0.9×0.1=0.09
由问题知 求n=?
而

=
=1－由中心极限定理知
=
查标准正态分布表得
解得n≥24.35
取n=25，即n至少为25才能使系统可靠性为0.95.
[八]随机地取两组学生，每组80人，分别在两个实验室里测量某种化合物的PH值，各人测量的结果是随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为5，方差为0.3，以分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均：
（1）求P{4.9<} （2）}
解：由中心极限定理知
～N(0,1) ～N(0,1)
（1）

（2）由Xi,Yj的相互独立性知独立。从而U，V独立。
于是U－V～N(0,2)
而

=2×0.8749－1=0.7498
[九]某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望μ（未知），方差σ2=400为了估计μ，随机地取几只这种器件，在时刻t=0投入测试（设测试是相互独立的）直到失败，测得其寿命X1，…，Xn，以作为μ的估计，为使问n至少为多少？
解：由中心极限定理知，当n很大时

=
所以

查标准正态分布表知

即n至少取1537。