数理逻辑-谓词逻辑.ppt

第二篇数理逻辑MathematicsLogic谓词逻辑PredicateLogic问题的提出：(命题逻辑的局限性)例
Ｐ1：小张是大学生
Ｐ2：小李是大学生
Q1：2大于3
Q2：6大于4
命题逻辑无法反映不同原子命题间的内在共性
解决问题的方法
分析原子命题，分离其主语和谓语
考虑一般和个别，全称和存在3.1谓词的概念与表示例1
(a)5是质数
(b)张明生于北京
(c)7=3×2
F(x)：x是质数
G(x,y)：x生于y，a：张明，b：北京
H(x,y,z)：x=y×z谓词常量（谓词常元）
一个字母代表一特定谓词,例如F代表“是质数”,则称此字母为谓词常量
谓词变元
若字母代表任意谓词,则称此字母为谓词变元
论域
个体域
谓词命名式中个体变元的取值范围
空集不能作为论域3.2命题函数与量词例
A(x)：x身体好
B(x)：x学习好
C(x)：x工作好
如果x身体不好，则x的学习与工作都不会好复合命题函数
A(x)→(B(x)∧C(x))
量词量词全称量词存在量词全总个体域（全总域）例特性谓词添加规则3.3谓词演算的合式公式函词与谓词的区别
函词中的个体变元用个体带入后的结果依然是个体
f(a)=小王的父亲
谓词中的个体变元用确定的个体带入后就变成了命题
M(x)：x是人
M(a)：小王是人
函词是论域到论域的映射
f:D→D
谓词是从论域到{T,F}的映射
M:D→{T,F}项和原子公式定义3.3.2原子公式(atom)
定义
若P是一个n元谓词，且t1,t2,…,tn是项，则P(t1,t2,…,tn)是原子
命题词也是原子(n=0)
例
P,Q(x),A(x,f(x)),B(x,y,a)谓词演算的合式公式(Wff)命题符号化例：将下列命题符号化(4)某些人对食物过敏
F(x,y)：x对y过敏，M(x)：x是人，G(x)：x是食物
xy(M(x)∧G(y)∧F(x,y))
(5)每个人都有些缺点
H(x,y)：x有y，M(x)：x是人，S(x)：x是缺点
x(M(x)→y(S(y)∧H(x,y))
(6)尽管有人聪明,但未必人人聪明
M(x)：x是人，S(x)：x聪明
x(M(x)∧S(x))∧¬x(M(x)→S(x))练习：将下列命题符号化练习参考答案几个特别的例子(4)如果人都爱美，则漂亮衣服有销路
M(x)：x是人，L(x)：x爱美，C(x)：x是衣服，B(x)：x是漂亮的，S(x)：x有销路 3.4变元的约束一般地，
如果量词后边只是一个原子谓词公式时，该量词的辖域就是此原子谓词公式。
如果量词后边是括号，则此括号所表示的区域就是该量词的辖域。
如果多个量词紧挨着出现，则后边的量词及其辖域就是前边量词的辖域。约束变元
如果个体变元x在x或者x的辖域内，则称x在此辖域内约束出现，并称x在此辖域内是约束变元
自由变元
如果个体变元x不在任何量词的辖域内，则称x是自由出现，并称x是自由变元
例
x(F(x,y)→yP(y))∧Q(z)
F(x,y)中的x和P(y)中的y是约束变元
而F(x,y)中的y和Q(z)中的z是自由变元例：指出下列各公式中的量词辖域及自由变元和约束变元对约束变元和自由变元的几点说明P(x,y,z)表示x+y＞z
假设论域是整数集，xyP(x,y,z)表示？
“任意给定的整数x，都可以找到整数y，使得x+y＞z”。
令z=1，则xyP(x,y,1)表示？
“任意给定的整数x，都可以找到整数y，使得x+y＞1”,…。
xyP(x,y,1)表示？不同个体以相同的符号出现容易产生混淆
例
x(F(x,y)→yP(y))∧Q(z)
约束变元的换名规则：
对约束变元可以更改名称，改名的范围是：量词后的指导变元以及该量词的辖域内此个体变元出现的各处同时换名。
改名后用的个体变元名称，不能与该量词的辖域内的其它变元名称相同。x(P(x)→Q(x,y))∨(R(x)∧A(x))
x以两种形式出现
对x换名
z(P(z)→Q(z,y))∨(R(x)∧A(x))
x(P(x,y)→yQ(x,y,z))∧S(x,y)
对x和y换名
u(P(u,v)→vQ(u,v,z))∧S(x,y)
错误
u(P(u,y)→zQ(u,z,z))∧S(x,y)
错误
u(P(u,y)→vQ(u,v,z))∧S(x,y)
正确自由变元换名例3.5谓词公式的解释例xyP(x,y)yxP(x,y)例3.6谓词公式的永真式例：试说明以下公式的类型5.x(A(x)∨B(x))→xA(x)∨xB(x)
解 取解释I如下:
D={1,2}6.x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)
解 取解释I如下:
D={1,2}