《正弦定理和余弦定理》典型例题.doc

《正弦定理和余弦定理》典型例题透析
类型一：正弦定理的应用：
例1．已知在中，，，，解三角形.
思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边，然后用三角形内角和求出角，最后用正弦定理求出边.
解析：，
∴，
∴，
又，
∴．
总结升华：
1.正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；
2.数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.
举一反三：
【变式1】在中，已知，，，解三角形。
【答案】根据三角形内角和定理，；
根据正弦定理，；
根据正弦定理，
【变式2】在中，已知，，，求、.
【答案】，
根据正弦定理，∴.
【变式3】在中，已知，求
【答案】根据正弦定理，得.
例2．在，求：和，．
思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角，然后用三角形内角和求出角，最后用正弦定理求出边.
解析：由正弦定理得：，
∴，
（方法一）∵，∴或，
当时，，（舍去）；
当时，，∴．
（方法二）∵，，∴，
∴即为锐角，∴，
∴．
总结升华：
1.正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。
2.在利用正弦定理求角时，因为，所以要依据题意准确确定角的范围，再求出角.
3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.
举一反三：
【变式1】在中，，，，求和．
【答案】∵，∴，
∵，∴或
∴当时，，；
∴当时，，；
所以，或．
【变式2】在中,,,求和；
【答案】∵，∴
∵，∴或
①当时，，；
②当时，（舍去）。
【变式3】在中，，,,求.
【答案】由正弦定理，得.
∵,∴，即
∴
类型二：余弦定理的应用：
例3．已知中，、、，求中的最大角。
思路点拨:首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解.
解析：∵三边中最大，∴其所对角最大，
根据余弦定理：，
∵，∴
故中的最大角是.
总结升华：
1.中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；
2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.
举一反三：
【变式1】已知中,,,求角.
【答案】根据余弦定理：，
∵，∴
【变式2】在中，角所对的三边长分别为，若，求的各角的大小．
【答案】设，，，
根据余弦定理得：，
∵，∴；
同理可得；
∴
【变式3】在中，若，求角.
【答案】∵，∴
∵，∴
类型三：正、余弦定理的综合应用
例4．在中，已知，，，求及.
思路点拨:画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边，然后继续用余弦定理或正弦定理求角.
解析：
⑴由余弦定理得：

=
=
=
∴
⑵求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
（法一：余弦定理）
∵，
∴
（法二：正弦定理）
∵
又∵，
∴＜，即＜＜
∴
总结升华：画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好.
举一反三：
【变式1】在中，已知,,.求和.
【答案】由余弦定理得：，
∴
由正弦定理得：，
因为为钝角，则为锐角，∴.
∴.
【变式2】在中，已知角所对的三边长分别为，若，，，求角和
【答案】根据余弦定理可得：

∵，∴；
∴由正弦定理得：.