数列解答题训练-经典教学教辅文档.doc

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数列

1．已知正项数列满足
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和Tn。

2．已知数列{an}的前n项和sn满足Sn=2n2﹣13n（n∈N*）．
（1）求通项公式an；
（2）令cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．

3．设等差数列的前n项和为,且,
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）设数列，求的前n项和.

4．已知数列满足：
（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）若数列满足：,求的前项和.

5．在数列中，为常数，，且成公比不等于1的等比数列．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，求证：若数列的前项和为，则

6．设数列的前n项和为，若对于任意的正整数n都有.
（1）设，求证：数列是等比数列，
（2）求出的通项公式。
（3）求数列的前n项和Tn.

7．设数列的前n项和为,已知.
（I）求的通项公式；
（II）若数列满足，求的前n项和.

8．设数列的前项和为，。
（1）求证：数列为等差数列，并分别写出和关于的表达式；
（2）能否存在自然数，使得？若存在，求出的值；来若不存在，请阐明理由。
（3）设,，若不等式对恒成立，求的最大值。

9．已知等差数列的前项和为，且满足：．
（1）求数列的通项公式；
（2）能否存在非零常数使数列为等差数列？若存在，请求出；若不存在，请阐明理由．

10．已知数列中，．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若，设，证明：．

11．设是公比为的等比数列．
（Ⅰ）推导的前项和公式；
（Ⅱ）设，证明数列不是等比数列．

12．已知数列是首项的等差数列，
设．
（1）求证：是等比数列；
（2）记，求数列的前项和；
（3）记，若对任意正整数，
不等式恒成立，求整数m的最大值．

13．（2015秋•福建期末）设数列{an}的前n项和为Sn．已知a1=1，，n∈N*．
（1）求a2的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）在数列{bn}中，，求{bn}的前n项和Tn．

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参考答案
1．（1）（2）

考点：数列递推式；数列的求和
2．（1）an=4n﹣15（2）Tn=﹣7﹣
【解析】解：（1）①当n=1时，a1=S1=﹣11，
②当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n2﹣13n﹣[2（n﹣1）2﹣13（n﹣1）]=4n﹣15，
n=1时，也合适上式．
∴an=4n﹣15．
（2）cn===•（4n﹣15），
∴Tn=+++…+•（4n﹣15），①
=++…++②
①﹣②，得：Tn=﹣+4（++…+）﹣（4n﹣15）•（）n+1
=﹣+4•﹣（4n﹣15）•（）n+1
=﹣﹣，
∴Tn=﹣7﹣．
【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，留意错位相减法的合理运用．
3．
（Ⅰ）解:设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2=2a1+1得：
，
解得：
则
（Ⅱ）,
...
，
，
则
考点：等差数列的通项公式和前n项和公式；数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）.
4．解：（1）
所以，
所以
所以是首项为3，公差为3的等差数列，
所以.
（2）由已知
①
②.
①-②得

所以
考点：等差数列的定义及通项公式；数列的前n项和.
5．（Ⅰ）∵为常数，∴
∴.
又成等比数列，∴，解得或
当时，不合题意，舍去.∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
∴
∴

∴＞0,＜
由单调性可知，当n=1是时有最小值
∴
考点：等差数列及数列求和
6．（1）∵Sn=2an﹣3n，对于任意的正整数都成立，
∴Sn﹣1=2an﹣1﹣3n﹣3，
两式相减，得an+1=2an+1﹣2an﹣3，即an+1=2an+3，
∴an+1+3=2（an+3），∴bn+1=2bn
所以数列{bn}是以2为公比的等比数列，
（2）由已知条件得：S1=2a1﹣3，a1=3．
∴首项b1=a1+3=6，公比q=2，
∴an=62n﹣1﹣3=32n﹣3．
（3）∵nan=3×n2n﹣3n
∴Tn=3（12+222+323+…+n2n）﹣3（1+2+3+…+n），
2Tn=3