直线的点斜式与两点式方程-经典教学教辅文档.doc

直线的点斜式与两点式方程
【学习目标】
(1)掌握直线方程的点斜式，并在此基础上掌握直线方程的斜截式、两点式、截距式；
(2)能根据直线满足的几何条件，选择恰当的方程方式，求直线方程。
【要点梳理】
要点一：直线的点斜式方程
方程由直线上必然点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.
要点诠释：
1.点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线；
2.当直线的倾斜角为0°时，直线方程为；
3.当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示.这时分直线方程为:.
4.表示直线去掉一个点；表示一条直线.
要点二：直线的斜截式方程
如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即.我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.
要点诠释：
1.b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零；
2.斜截式方程可由过点(0，b)的点斜式方程得到；
3.当时，斜截式方程就是一次函数的表示方式.
4.斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线.
5.斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距.
要点三：直线的两点式方程
经过两点(其中)的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式.
要点诠释：
1.这个方程由直线上两点确定；
2.当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程.
3.直线方程的表示与选择的按次无关.
4．在运用两点式求直线方程时，常常把分式方式经过交叉相乘转化为整式方式，从而得到的方程中，包含了x1=x2或y1=y2的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因而忽略由x1、x2和y1、y2能否相等引发的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式方式．
要点四：直线的截距式方程
若直线与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程.a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距.
要点诠释：
1.截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线和不能表示与坐标轴平行的直线.
2.求直线在座标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距.
要点五：中点坐标公式
若两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，且线段的中点坐标为(x，y)，则x=，y=，则此公式为线段的中点坐标公式．
要点六：直线方程几种表达方式的拔取
在普通情况下，运用斜截式比较方便，这是由于斜截式只需求两个独立变数，而点斜式需求三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的方式．普通地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种方式，都要留意各自的限制条件，以免遗漏．
【典型例题】
类型一：点斜式直线方程
例1．已知直线过点（1，0），且与直线的夹角为30°，求直线的方程。
【答案】x=1或
【解析】∵直线的斜率为，∴其倾斜角为，且过点（1，0）。
又直线与直线的夹角为30°，且过点（1，0），由下图可知，直线的倾斜角为30°或90°。
故直线的方程为x=1或。
【总结升华】（1）由于直线过点（1，0），因而求直线的方程的关键在于求出它的斜率，由此可知，何时选择点斜式来求直线方程的根据是标题能否给出了（或者能够求出）直线上的一点的坐标和其斜率。
（2）利用点斜式求直线方程的步骤是：①判断斜率k能否存在，并求出存在时的斜率；②在直线上找一点，并求出其坐标。
（3）要留意点斜式直线方程的逆向运用，即由方程y―y0=k(x―x0)可知该直线过定点P（x0，y0）且斜率为k。
举一反三：
【变式1】（1）直线y=x+1绕着其上一点P（3，4）逆时针旋转90°后得直线，求直线的点斜式方程；
（2）直线过点P（2，－3），且与过点M（－1，2），N（5，2）的直线垂直，求直线的方程．
【答案】（1）x+y－7=0（2）x=2
【解析】（1）直线y=x+1的斜率k=1，所以倾斜角为45°．由题意知，直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率k＇=tan135°=－1．
又点P（3，4）在直线上，由点斜式方程知，直线的方程为y－4=－(x－3)，即x+y－7=0．
（2）直线MN的斜率，所以该直线平行于x轴．
又直线垂直于直线MN，