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序轴法——复合函数单调区间
的一种简捷求法

成都市龙泉驿区教育局教研室王富英（610100）

复合函数是高中数学中的一类重要函数，讨论复合函数的单调性，求出其单调区间是复合函数问题中的一类重要问题。而一些书刊上对复合函数单调区间的求法过于繁琐，本文介绍一种求复合函数单调区间的简捷方法，供大家参考。
本文介绍的复合函数单调区间求法的理论依据是下面的
定理（判定定理）：若都是单调函数，则n次复合函数在其定义域内也是单调函数，且它为增函数的充要条件是中减函数的个数为偶数；它为减函数的充要条件是中减函数的个数为奇数。
下面我们先通过一个例子来说明具体的方法。
已知，若，求函数的单调区间。（89年高考理科（11）改编--原题为选择题）
解：令t=2,则，故是由这两个函数复合而成的，定义域为实数集R。
当即或时，；
当即时，；
当时，；当时，。
将-1,0.1按大小顺序标在以向右为正方向的有向直线上（由于不考虑单位，只考虑顺序，故称这条直线为“序轴”），再把各层函数的增减性用升、降箭头标在相应区间上方，然后，在序轴下方的相应区间，根据复合函数单调性的判定定理，用箭头标出复合函数的单调性。如（图1）
：
：
：-101
（图1）

由图1可知，的递增区间为，[0，1]；递减区间为（-1，0），（1，+。
这种求复合函数单调区间的方法我们称之为“序轴法”，其一般的解题步骤为：
求复合函数的定义域，并把各层函数分解出来；
求出各层函数单调区间及对应的在复合函数定义域内自变量x的取值区间；
由各层函数单调区间的端点值，把复合函数的定义域分成若干部分，并在序轴上标出；
将各层函数的增减性用升、降箭头在序轴上相应区间的上方标出；
由复合函数单调性的判定定理，在每个区间的下方，用升、降箭头标出单调性，从而得出复合函数的单调区间。
这种方法已近程序化，层次清楚，操作方便，简便易行，且不容易出错。特别是对于由多个函数复合而成的复合函数则更为简捷。我们再举一例：
例2、求函数的单调区间。
解：因为，故令
y(u)=,则
是由三个函数复合而成的，其定义域为实数集R。
当即或或时，；
当时，即<x<-1,或时，；
当即时，；
当即或时，；
当时，；当时，。
把及各层函数的单调性用箭头在序轴上标出(如图2)：
y(u)
u(t)
t(x)
f(x)-101
（图2）
∴f(x)的单调递减区间为：;
单调递增区间为：。

参考文献：
王富英马晓容《复合函数的单调性》，《中学教研》（数学）1996年第12期。
注：此文已在《中学数学》2002年第9期发表