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数学归纳法题型展示台
数学归纳法是证明与正整数有关的命题的一种重要方法，从近几年高考对数学归纳法的考查来看，一是要求学生能用数学归纳法去证明现成的结论；二是加强了对不完全归纳法应用的考查，既要会归纳、猜想、发现结论，又要能证明结论的正确性。本文就数学归纳法题型作一归纳，供同学们学习时参考。
证明等式
用数学归纳法证明1+2+3+…+2n=n(2n+1)(n∈N﹡)
分析:注意左边是2n项的和，故n=1时左边是两项和，当n=k+1时，左边增加的是2k+1与2k+2两项。
证明:(1)当n=1时，左边=1+2=3，右边=1×(2×1+1)=3,故等式成立；(2)假设当n=k(k≥1)时等式成立，即1+2+3+…+2k=k(2k+1),则当n=k+1(k≥1)时，左边=1+2+3+…+2k+(2k+1)
+(2k+2)=k(2k+1)+(2k+1)+(2k+2)=(2k+1)(k+1)+2(k+1)=(k+1)(2k+3)=(k+1)[2(k+1)+1].即当n=k+1时，等式成立.综合(1)、(2)可知，对任意正整数n,等式都成立。故原式成立。
评注:数学归纳法证题步骤:第一步:先证明n=n0(第一个值)时命题成立；第二步:再假设n=k时命题成立,利用这一条件及已知的定义、定理、公式证明n=k+1时，命题也成立。
证明整除问题
证明xn-nan-1x+(n-1)an能被(x-a)2整除(n∈N﹡,n≥2).
分析:在证明n=k+1时，注意“配凑”的技巧，要有目的地去“配凑”倍数式子，以及假设n=k时的式子。
证明:(1)当n=2时，xn-nan-1x+(n-1)an=x2-2ax+a2=(x-a)2显然能被(x-a)2整除；(2)假设当n=k时，f(k)=xk-kak-1x+(k-1)ak能被(x-a)2整除,那么当n=k+1时，f(k+1)=xk+1-（k+1)akx+kak+1=x[xk-kak-1x+(k-1)ak]+kak-1(x-a)2即f(k+1)=xf(k)+kak-1(x-a)2.∵f(k)能被(x-a)2整除,∴f(k+1)能被(x-a)2整除,即n=k+1时,命题成立。综合(1)、(2)可知，对n∈N﹡,n≥2命题成立。
评注:在证明整除问题时，为了能利用归纳假设，由“n=k”成功过渡到“n=k+1”，常常要对式子采用“拆”“添”“凑”等技巧进行变形。最终将其变成一个或多个部分的和，其中每个部分都能被约定的数(或式子)整除，从而由部分的整除性得出整体的整除性，最终证得n=k+1时也成立。这些技巧主要体现在归纳假设和目标式的差异上。
证明不等式
(辽宁卷)已知函数f(x)=,设数列{an}满足a1=1，an+1=f(an)，数列{bn}满足bn=|an-|，证明:bn≤。
证明:∵a1=1，∴an+1=f(an)=。∴an+1>1，即an≥1(n∈N﹡).(1)当n=1时，b1=-1,不等式成立；(2)假设当n=k(k≥1)时不等式成立，即bk≤成立.那么当n=k+1时bk+1=|ak+1-|=|=|=.∴n=k+1时，不等式也成立，综合(1)、(2)可知，不等式对任意n∈N﹡都成立。
评注:本题综合考查了函数、数列、不等式和数学归纳法，证明的关键在于对不等式进行放缩。这种综合型考题在高考试卷中出现的频率比较高。
证明数论(奇、偶数，有理数)问题
例4(安徽卷)首项为正数的数列{an}(n∈N﹡)满足an+1=(an2+3).求证:若a1为奇数，则对一切n≥2,an都是奇数。
证明:已知a1为奇数，假设ak=2m-1是奇数，其中m为正整数，则由递推关系得ak+1=(ak2+3)=
m(m-1)+1是奇数.根据数学归纳法，对任何n∈N﹡，an都是奇数。
例5(江苏卷)已知△ABC的三边长是有理数。(1)求证:cosA是有理数(2)求证:对任意正整数n,cosnA是有理数
证明:(1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知cosA=是有理数
(2)用数学归纳法证明cosnA和sinA·sinnA都是有理数。①当n=1时，由(1)知cosA是有理数，从而有sinA·sinA=1-cos2A也是有理数。②假设当n=k(k≥1)时，coskA和sinA·sinkA都是有理数。当n=k+1(k≥1)时，由cos(k+1)A=CosA·coskA-sinA·sinkA,sinA·sin(k+1)A=sinA(sinA·coskA+cosA·sinkA)=(sinA·sinA)·coskA+（sinA·sinkA）·cosA，由①和归纳假设，知cos(k+1)A与sinA·sin(k+1)A都是有理数，即当n=k+1时，结论成立。综合①、②可知，对任意正整数n,cosnA是有理数
评注:本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识