有限元法的理论基础.pptx

会计学预备知识
第一章有限单元法的理论基础
微分方程的等效积分形式
加权余量法
变分原理弹性力学的基本假设一、连续性假设
弹性理论同其他宏观物理学一样，不考虑实际工程材料细观粒子结构。
1.物体抽象成连续密实的空间几何体，位移、应变、应力、能量等物理量作为空间点位置的函数定义在这个几何体上。
2.物体在整个变形过程中始终保持连续，即：定义在该连续介质上的物理性质和物理量除了在某些孤立的点、线、面上可能奇异或间断外，在变形过程中始终保持为空间点位的连续函数。
二、弹性假设
弹性体的变形与载荷在整个加载和卸载过程中存在一一对应的单值函数关系，且载荷卸去后变形完全消失。
应力小于弹性极限时应力应变关系是线性的。服从虎克定律。
小变形情况下，应变和位移导数间的关系是线性的。
三、均匀性假设
物体在各点处的弹性性质都相同。
四、自然状态假设
假设物体不受外力作用和温度的影响，物体便没有应力和变形，即不考虑由于制造工艺引起的残余应力和装配应力。弹性力学问题的矩阵表示一、基本物理量

位移：

应变：

应力：

一、场方程

几何方程：预备知识物理方程：

这里假设材料是各向同性的。注：
表示工程切应变，它们与张量切应变的关系为：在平面问题中的弹性矩阵：

平面应力问题：
平面应变问题：平衡方程：边界条件：

力边界：

位移边界：本章重点和应掌握的内容
本章重点和应掌握的内容微分方程的等效积分形式及其“弱”形式的实质和构造方法，任意函数和场函数应满足的条件。
不同形式加权余量法中权函数的形式和近似解的求解步骤，以及Galerkin法的特点。
线性自伴随微分方程的变分原理的构造方法和泛函的性质，以及自然边界条件和强制边界条件的区别。

经典Ritz方法的求解步骤、收敛条件及其局限性
两种形式虚功原理（虚位移原理和虚应力原理）的实质和构造方法。
从虚功原理导出最小位能原理和最小余能原理的途径，各自的性质以及场函数事先应满足的条件

本章含盖三节内容：
1.1微分方程的等效积分形式
1.2加权余量法
1.3变分原理
1.1微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式

一、连续介质问题微分方程的一般表达式

且满足边界条件：

表示对独立变量(时间，空间)的微分算子。
微分方程的等效积分形式

微分方程的等效积分形式

微分方程的等效积分形式

微分方程的等效积分形式

微分方程的等效积分形式

微分方程的等效积分形式

微分方程的等效积分形式

微分方程的等效积分形式

微分方程的等效积分形式

微分方程的等效积分形式

微分方程的等效积分形式

微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分的弱形式
微分方程的等效积分的弱形式
微分方程的等效积分的弱形式
微分方程的等效积分的弱形式
微分方程的等效积分的弱形式
微分方程的等效积分的弱形式
微分方程的等效积分的弱形式
微分方程的等效积分的弱形式
微分方程的等效积分的弱形式
微分方程的等效积分的弱形式

1.2加权余量法1.2加权余量法1.2加权余量法1.2加权余量法1.2加权余量法1.2加权余量法1.2加权余量法1.2加权余量法1.2加权余量法1.2加权余量法1.2加权余量法1.2加权余量法1.2加权余量法1.2加权余量法1.2加权余量法1.2加权余量法1.2加权余量法1.2加权余量法1.2加权余量法1.2加权余量法1.2加权余量法1.2加权余量法1.2加权余量法1.2加权余量法1.2加权余量法1.2加权余量法1.2加权余量法1.2加权余量法1.2加权余量法1.2加权余量法1.2加权余量法1.2加权余量法1.2加权余量法1.2加权余量法变分原理
自然变分原理
修正泛函的变分原理
线性、自伴随微分算子
如果微分方程具有线性、自伴随的性质，则：
不仅可以建立它的等效积分形式，并可利用加权余量法求其近似解；
还可建立与之相等效的变分原理，基于它的另一种近似求解方法——Ritz法线性、自伴随微分方程的定义：
微分方程：
为微分算子
若具有性质：
则称为线性微分算子。有限元法的理论基础-变分原理泛函的构造
设有微分方程：有限元法的理论基础-变分原理有限元法的理论基础-变分原理自然变分原理变分原理是针对以下积分形式定义的标量泛函而言，原问题微分方程和边界条件的等效积分Galerkin
提法等效于泛函取驻值。反之泛函取驻值则等效于微分方程和边界条件。
这里泛函可以通过等效积分的Galerkin提法得到。
这种变分原理称为自然变分原理。
例如，弹性力学中的最小位能原理、粘性流体中最小能力耗散原理，称为自然变分原理。有限元法的理论基础-变分原理最小位能原理：
真实位移使体系总位能取极小值，
即：有限元法的理论基础-变分原