线性连续系统的可控性和可观测性.pptx

会计学可观测性反映由能直接测量的输入输出的量测值来确定反映系统内部动态特性的状态的可能性。这是因为经典控制理论所讨论的是SISO系统输入输出的分析和综合问题,它的输入输出间的动态关系可以唯一地由传递函数所确定。
因此,给定输入,则一定会存在唯一的输出与之对应。
反之,对期望输出信号,总可找到相应的输入信号(即控制量)使系统输出按要求进行控制,不存在能否控制的问题。
此外,输出一般是可直接测量,不然,则应能间接测量。
否则,就无从进行反馈控制和考核系统所达到的性能指标。
因此,在这里不存在输出能否测量(观测)的问题。
所以,无论是从理论还是实践,经典控制理论和技术一般不涉及到能否控制和能否观测的问题。现代控制理论中着眼于对表征MIMO系统内部特性和动态变化的状态进行分析、优化和控制。
状态变量向量的维数一般比输入向量的维数高,这里存在多维状态能否由少维输入控制的问题。
此外,状态变量是表征系统动态变化的一组内部变量,有时并不能直接测量或间接测量,故存在能否利用可测量或观测的输入输出的信息来构造系统状态的问题。一、线性连续系统的可控性1.可控性的直观讨论

状态可控性反映输入u(t)对状态x(t)的控制能力。
如果状态变量x(t)由任意初始时刻的任意初始状态引起的运动都能由输入(控制项)来影响,并能在有限时间内控制到空间原点,那么称系统是可控的,
或者更确切地说,是状态可控的。
否则,就称系统为不完全可控的。

下面通过实例来说明可控性的意义。该电桥系统中,电源电压u(t)为输入变量,并选择两电容器两端的电压为状态变量x1(t)和x2(t)。
试分析电源电压u(t)对两个状态变量的控制能力。由电路理论知识可知,
若图1所示的电桥系统是平衡的,电容C2的电压x2(t)是不能通过输入电压u(t)改变的,即状态变量x2(t)是不可控的,则系统是不完全可控的。由状态空间模型来看,
当选择两电容器两端电压为状态变量x1(t)和x2(t)时,可得如下状态方程:解上述状态方程,可得由该状态方程可知,状态变量x1(t)和x2(t)都可由输入u单独控制,
可以说,x1(t)和x1(t)都是单独可控的。
对该状态方程求解后可得
x1(t)-x2(t)=e-3t[x1(0)-x2(0)]
即状态x1(t)和x1(t)总是相差一个固定的,不受u(t)控制的函数值。
定义1若线性时变连续系统

对初始时刻t0(t0T,T为时间定义域)和初始状态x(t0),
存在另一有限时刻t1(t1>t0,t1T),
可以找到一个控制量u(t),
能在有限时间[t0,t1]内把系统状对上述状态可控性的定义有如下讨论:
1.控制时间[t0,t1]是系统状态由初始状态转移到原点所需的有限时间。
对时变系统,控制时间的长短,即t1-t0的值,与初始时刻t0有关。
对于定常系统,该控制时间与t0无关。
所以,对于线性定常系统状态可控性,可不必在定义中强调“在所有时刻状态完全可控”,而为“某一时刻状态完全可控,则系统状态完全可控”。
2.在上述定义中,对输入u(t)没有加任何约束,只要能使状态方程的解存在即可。
如果矩阵A(t)和B(t)以及向量u(t)的每个元素都是t的分段连续函数,则状态方程存在唯一解。
u(t)为分段连续的条件,在工程上是很容易满足的。3.线性定常连续系统的状态可控性判据

线性定常连续系统(A,B)

状态可控性判据有许多不同形式,包括
格拉姆矩阵判据
秩判据
模态判据（1）格拉姆矩阵判据

线性定常连续系统(A,B)状态完全可控的充要条件为:存在t1(t1>0),使得如下可控格拉姆(Gram)矩阵为非奇异的
（2）秩判据

线性定常连续系统(A,B)状态完全可控的充要条件为:
定义如下的可控性矩阵
Qc=[BAB…An-1B]
满秩,
rankQc=rank[BAB…An-1B]=n证明如下:
对于线性定常系统,由可控性定义可知,其状态可控性与初始时刻无关。
因此,不失一般性,可设初始时刻t0为0。
根据状态方程解的表达式,有由可控性的定义有,若可控,则应存在t1(t1>0)和分段连续的u(t),使得x(t1)=0,即由凯莱-哈密顿定理,有若系统是可控的，那么对于任意给定的初始状态x(0)都应从上述方程中解出f0，f1，…，fn1来。这就要求系统可控性矩阵的秩为n，即
rank[BABA2B…An1B]=n
例题：设系统的状态方程为

判断其状态可控性。对角规范型判据：对为对角规范形的线性定常连续系统(A,B),有：
1)若A的所有特征值互异,则系统可控的充要条件为：
B中不包含元素全为0的行；
2)若A有重特征值,则系统可控的充要条件为：
重特征值对应的B中的行线性无关。
例题：判断下述系统的状态可控性例题：对于如图所示的系统