《应用概率统计》复习题及答案.pdf

2011年5月21日
工程硕士《应用概率统计》复习题

考试要求：开一页；题目类型：简答题和大题；考试时间：100分钟。

1.已矢卩P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5,求P(A一B)。

解：因为P(A)=1-P(A)=1-0.3=0.7,

又因为AB二A-B二A-AB,ABA,

所以P(AB)二P(A)-P(AB)二0.7-0.5二0.2,

故P(A一B)=P(A)P(B)-P(AB)=0.70.4-0.2=0.9.

5
2•设随机变量X~b(2,p),Y~b(4,p),并且P(X_1),求P(Y_1)。
9

解：

X〜b(2,p),且P(X_1)二5,而P(X_1)=1-P(X=0)=1-(1-p)9
2
所以(1-p),解得p=1,从而Y〜b(4,1),故
2933
P(Y_1)=1-P(Y=0)=1-(1-).
4381

3•随机变量X与Y相互独立，下表中给出了X与Y的联合分布的部分数值，请将表中其

1

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12
4.设随机变量Y服从参数的指数分布，求关于x的方程x2Yx2Y-0没有
2
实根的概率。

解：因为当厶二Y2-4(2Y-3)：：：0时，即Y2-8Y-12：：：0时没有实根，故所
求的概率为P{Y2-8Y•12：：：0}二P{2:::丫:::6}，而Y的概率密度

丄-》c1
661
()=12ey0::6}二e9y
fy,，从而P{2Yf(y)dyJ2dy二
I0,y"22

1357
5.设离散型随机变量X的可能取值为-1,0,1,3，相应的概率依次为???
161616316

求概率P(X|<2)。
35
解：由题意可知P{Xpp3
石{X「八荷{X=}

所以P(|X|_2)=P{X=-1}P{X=0}P{X=1}二仁P{X=3}=1-^9

16

10
2X〉1.44；>
6.设X1,X2,…,X10是来自正态总体N(0,0.3)的样本，求P］送2的概率。

10
1ax1
解：由定理可知2X2~2(10)，
0.09◎0.32y
(10)=15.987
查表可得3；.10，

10；
：丄£X>1620.10.
所以P丿瓦XA1.44》=P.0.09』-’

7.设XY相互独立，X〜N［-2,4］，Y服从参数v-1的指数分布，求E(XY)，D(X-2Y)。

解：因为X~N［-2,4］，Y服从参数-1的指数分布，由书上例题的结论可知

E(X)=」=-2,D(X)=:；2=4,
11
E(Y)=：=1,D(Y)
叮2珂由因为XY相互独立，所以
E(XY)二E(X)E(Y)=-2,

D(X-2Y)=D(X)-D(2Y)=D(X)-4D(Y)=0.

2

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X1—X
2_的分布。
8.设Xi,X2,X3,X4是总体X~N0,匚的样本，求—
22
3X4

2Xf2〜N(0,1),

X1+X2~N(0,2b),解：由2二
题意可知
A(X2+x：)~32(2),

1(XX)/Z~t(2).
所以XX212

3X：/2
—2X
◎

9.现有两箱同类产品，第一箱装50件，其中有10件一等品；第二箱装30件，其中有18
件一等品。现从两箱中任取一箱，再从取出的箱中任取一件产品，求：

(1)取到的产品是一等品的概率；

(2)已知取到的是一等品，问它来自第一箱的可能性有多大？

解：设A表示"这个产品是一等品”，

B1表示“这个产品来自第一箱”，B1表示“这个产品来自第一箱”
1011831
))
贝煬得P(A|BJ,P(A|B2,P(B1=P(E2)
5053052

(1)由全概率公式有
11312

)))
P(A)二P(A|BJP(B1P(A|B2P(B2
52525

(2)由贝叶斯公式有

11
P(A|BJP(BJ2
P(B|A)
1P(A)2

10.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
ke«七
xy)x0,y0
f(x,y)
0,其它

(1)求常数k的值；(2)求(X,Y)的分布函数F(x,y);

(3)判断X与Y是否相互独立；(4)求P(X-2Y<1)。

3

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解：(1)利用概率密度的性质
-be
1■be2x3y6
.-；f(x,y)dxdy,得k=6,从而
「-；00kedxdy二
k
6eX2x3y)0,y0
f(x,y)=」
o,其它

(2)由定义

x
y-2u-3v,,x0,y0,
F(x,y)=jJf(u,v)dvdu=«…6edvdu,
0,其它.

(1-e2x)(1-e-3y),x\0,y-0,
其它.
0,

(3)(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度分别为

〔12e",x