423-直线与圆的方程的应用.docx

直线与圆的方程的应用
整体设计
教学分析
直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用.本小节设置了一些例题,分别说明直线与圆的方程在实际生活中的应用,以及用坐标法研究几何问题的根本思想及其解题过程.
三维目标
(1)理解直线与圆的位置关系的几何性质；
(2)利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译〞成几何结论.
(3)会用“数形结合〞的数学思想解决问题.让学生通过观察图形,理解并掌握直线与圆的方程的应用,培养学生分析问题与解决问题的能力.
重点难点
教学重点：求圆的应用性问题.
教学难点:直线与圆的方程的应用.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.如图1,某城市中的高空观览车的高度是100m,
图1
在离观览车约150m处有一建筑物,某人在离建筑物100m的地方刚好可以看到观览车,你根据上述数据,如何求出该建筑物的高度要解决这个问题,我们继续研究直线与圆的方程的应用,教师板书课题:直线与圆的方程的应用.
思路2.同学们,前面我们学习了圆的方程、直线与圆的位置关系、圆和圆的位置关系,那么如何利用这些关系来解决一些问题,怎样解决带着这些问题我们学习直线与圆的方程的应用.教师板书课题:直线与圆的方程的应用.
推进新课
新知探究
提出问题
①你能说出直线与圆的位置关系吗
②解决直线与圆的位置关系,你将采用什么方法
③阅读并思考教科书上的例4,你将选择什么方法解决例4的问题
④你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗
⑤你能利用“坐标法〞解决例5吗
活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生答复,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,发散思维.①学生回忆学习的直线与圆的位置关系的种类；②解决直线与圆的位置关系,可以采取两种方法；③首先考虑问题的实际意义,如果此题出在初中,我们没有考虑的余地,只有几何法,在这里当然可以考虑用坐标法,两种方法比较可知哪个简单；④回忆圆的定义可知确定一个圆的方程的条件；⑤利用“坐标法〞解决问题的关键是建立适当的坐标系,再利用代数与几何元素的相互转化得到结论.
讨论结果：①直线与圆的位置关系有三类:相交、相切、相离.
②解决直线与圆的位置关系,将采用代数和几何两种方法,多数情况下采用圆心到直线的距离与半径的关系来解决.
③阅读并思考教科书上的例4,先用代数方法及坐标法,再用几何法,作一比较.
④你能分析一下确定一个圆的方程的要点,圆心坐标和半径,有时关于D、E、F的三个独立的条件也可.
⑤建立适当的坐标系,具体解法我们在例题中展开.
应用例如
思路1
例1讲解课本4.2节例4,解法一见课本.
图2
解法二：如图2,过P2作P2H⊥OP.由,|OP|=4,|OA|=10.
在Rt△AOC中,有|CA|2=|CO|2+|OA|2设拱圆所在的圆的半径为r,那么有r2=(r-4)2+102.
解得r=14.5.
在Rt△CP2H中,有|CP2|2=|CH|2+|P2H|2.
因为|P2H|=|OA2|=2,于是有|CH|2=r2-|OA2|2=14.52-4=206.25.
又|OC|=14.5-4=10.5,于是有|OH|=|CH|-|CO|=-10.5≈14.36-10.5=3.86.
所以支柱A2P2的长度约为3.86cm.
点评：通过课本解法我们总结利用坐标法解决几何问题的步骤是：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译〞成几何结论.
把两种解法比较可以看出坐标法通俗易懂,几何法较难想,繁琐,因此解题时要有所选择.
变式训练
圆内接四边形的对角线互相垂直,求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.
图3
解:如图3,以四边形ABCD互相垂直的对角线CA、DB所在直线分别为x轴、y轴,建立适当的平面直角坐标系,设A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).
过四边形ABCD的外接圆的圆心O1分别作AC、BD、AD的垂线,垂足分别为M、N、E,
那么M、N、E分别为线段AC、BD、AD的中点,由线段的中点坐标公式,得=xm=,=yn=,xE=,yE=.
所以|O1E|=.
又|BC|=,所以|O1E|=|BC|.
点评:用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素、点、直线、圆.将几何问题转化为代数问题,然后通过代数运算解决代数问题,最后解释代数运算结果的几何意义,得到几何问题的结论.
例2有一种大型商品,A、