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初中数学与三角板有关的中考题

三角板是同学们早已熟悉的作图工具。一副三角板都有两个直角三角形，其中一个是等腰直角三角形，它的三个内角分别是90°，45°，45°；另一个三角形的三个内角分别是30°，60°，90°。在近两年的中考命题中，与三角板有关的问题成为热点，下面举例说明。
例1.用一副三角板可以直接得到30°，45°，60°，90°四种角。利用一副三角板可以拼出另外一些特殊角，如75°，120°等。请你拼一拼，使用一副三角板还能拼出哪些小于平角的角，这些角的度数分别是_________________。
解：通过用三角板拼图，可以发现：用一副三角板还可以拼出15°，105°，135°，150°，165°的角。
说明：通过观察不难发现：只要是15°的整数倍的角都可以用一副三角形板拼出。
例2.将一副常规三角板拼成如图1所示的图形，则∠ABC=_________度。

图1
解：∠ABC=∠ABD+∠DBC=90°+45°=135°
故应填135。
注意：由于填空线后面已有单位“度”，因此横线上只能填一个不带单位的数即135，而不能填135°。这是填空题必须注意的一个问题，应当引起同学们的重视。
例3.如图2所示，将一幅三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O点，则∠AOB+∠DOC=__________度。

图2
解：∠AOB+∠DOC=∠AOC+∠BOC+∠DOC
=∠AOC+∠BOD
=90°+90°
=180°
故应填180。
例4.将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图3所示的位置，若∠AOD=110°，则∠BOC=_____________。

图3
解：∠AOC=∠AOD－∠COD
=110°－90°=20°
∠BOC=∠AOB－∠AOC=90°－20°=70°
故应填70°
注意：由于填空线后面没有单位，因此横线上应填一个带有单位的量，即填70°。要注意例4和例2的微小差别。
例5.把一副三角板如图4所示叠放在一起，则图中∠α的度数为（）
A.75° B.60° C.65° D.55°

图4
解：由三角形的外角定理可得∠α的余角=45°－30°=15°
所以∠α=90°－15°=75°
故应选A
例6.（1）将一副三角板如图5（1）叠放，则左右阴影部分面积之比S1：S2等于____________。

图5（1）
（2）将一副三角板如图5（2）叠放，则上下两块三角板面积之比A1：A2等于______________。

图5（2）
解：（1）如图6所示，过点O作OE⊥BC于E。设AB=AC=a

图6

（2）如图5（2）所示，设，则

说明：含30°角的直角三角板的三边长的比是，含45°角的等腰直角三角板三边长的比是。熟练掌握一副三角板中两种三角形的三边长之比，可以提高解题效率，开阔解题思路。