（小学中学试题）利用均值不等式求最值的方法 学法指导 不分版本.doc

利用均值不等式求最值的方法
李海港张传法
均值不等式当且仅当a＝b时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目，可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。

一、配凑
1.凑系数
例1.当时，求的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。

当且仅当，即x＝2时取等号。
所以当x＝2时，的最大值为8。
评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。

2.凑项
例2.已知，求函数的最大值。
解析：由题意知，首先要调整符号，又不是定值，故需对进行凑项才能得到定值。
∵
∴

当且仅当，即时等号成立。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
3.分离
例3.求的值域。
解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当，即时
（当且仅当x＝1时取“＝”号）。
当，即时
（当且仅当x＝－3时取“＝”号）。
∴的值域为。
评注：分式函数求最值，通常化成，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。

二、整体代换
例4.已知，求的最小值。
解法1：不妨将乘以1，而1用a＋2b代换。

当且仅当时取等号，由
即时，的最小值为。
解法2：将分子中的1用代换。

评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到，而与的积为定值，即可用均值不等式求得的最小值。

三、换元
例5.求函数的最大值。
解析：变量代换，令，则
当t＝0时，y＝0
当时，
当且仅当，即时取等号。
故。
评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。

四、取平方
例6.求函数的最大值。
解析：注意到的和为定值。

又，所以
当且仅当，即时取等号。
故。
评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。
总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。

［练一练］
1.若，求的最大值。
2.求函数的最小值。
3.求函数的最小值。
4.已知，且，求的最小值。
参考答案：1.2.53.84.