奇偶性定义的四个特性 专题辅导 不分版本试卷.doc

奇偶性定义的四个特性
张子明
函数奇偶性的定义为：设，如果对于任意，都有，则称函数为偶函数；如果对于任意，都有，则称函数为奇函数。
深刻理解函数奇偶性的定义，可以得到以下四个方面的特性：
一.任意性
奇偶性定义中的及对定义域中任意x均成立。
例1.（2001年两省一市高考题）设，是R上的偶函数，求a的值。
解：因为是R上的偶函数，所以对任意x均成立，
即恒成立。整理为（）（）=0对任意x均成立，
所以。又因为，所以。
二.对称性
对于函数，有为奇函数的图象关于原点对称；为偶函数的图象关于y轴对称。
例2.把函数的图象向右平移个单位，所得函数为偶函数，则的最小值是（）
A. B. C. D.
解：依题意，为偶函数，其图象关于y轴对称。
因为对称轴方程为，且直线是其中的一条对称轴，
所以。
又因为，所以时，的最小值是，选（B）。
例3.已知定义在R上的偶函数在（，0上是减函数，若，求不等式的解集。
解：利用偶函数图象的对称性，画出函数的示意图（如图1）。

图1
观察图象知，不等式可化为，即
或。从而
不等式的解集为。
三.同值性
若是奇函数，则当自变量取互为相反数的一对值时，其函数值也是互为相反数；若是偶函数，则当自变量取互为相反数的一对值时，其函数值相等。
例4.已知是定义在实数集上的奇函数，求函数f(x)的解析式。
解1：因为f(x)是奇函数，
所以
即
解得，所以
解2：因为是定义在实数集上的奇函数，所以，得。所以。
例5.已知是奇函数，函数，且，求的值。
解：令。注意到是奇函数，那么

所以是奇函数
由
有，从而

四.穿越性
若是奇函数，则中的负号可以穿越f，即；若是偶函数，则中的负号不能穿越f，即。
例6.设的定义域是R，（1）若都是奇函数，求证：是奇函数；（2）若是偶函数，是奇函数，求证：是偶函数。
证明：（1）因为是奇函数，
所以负号能穿越f与g。这样，所以是奇函数。
（2）因为f(x)是偶函数，是奇函数，所以负号能穿越g而不能穿越f。
这样，，所以是偶函数。
练习：
1.判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）。
2.若都是奇函数，在（0，）上有最大值5，则在（，0）上有（）
A.最小值-5 B.最大值-5
C.最小值-1 D.最大值-3
3.已知为偶函数，求的值。
4.已知函数的周期为4，且等式对任意均成立，求证为偶函数。
5.已知是定义在R上的偶函数，且在［0，］上为减函数，若，求实数a的取值范围。

[参考答案]

1.（1）非奇非偶函数，（2）奇函数；
2.（C）；
3.
4.利用定义；
5.或