圆锥曲线与平面向量的综合 人教版试卷.doc

圆锥曲线与平面向量的综合
【例4】(2004年·辽宁卷.19)
设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：
（Ⅰ）动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）的最小值与最大值.
解：（Ⅰ）解法一：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为
记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组
②
①

的解.
将①代入②并化简得，，所以
于是

设点P的坐标为则
消去参数k得③
当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方程为
解法二：设点P的坐标为，因、在椭圆上，所以
④
⑤
④—⑤得，所以

当时，有⑥
并且⑦
将⑦代入⑥并整理得⑧
当时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为（0，0）
也满足⑧，所以点P的轨迹方程为

（Ⅱ）由点P的轨迹方程知所以

故当，取得最小值，最小值为时，取得最大值，最大值为

【例5】(2004年·天津卷.理22)
椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P，Q两点.
（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；
（Ⅱ）若，求直线PQ的方程；
（Ⅲ）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明.
解：（Ⅰ）由题意，可设椭圆的方程为.
由已知得
解得
所以椭圆的方程为，离心率.
（Ⅱ）由（1）可得A（3，0）.
设直线PQ的方程为.由方程组

得
依题意，得.
设，则
，①
.②
由直线PQ的方程得.于是
.③
∵，∴.④
由①②③④得，从而.
所以直线PQ的方程为或
（Ⅲ）证明：.由已知得方程组

注意，解得
因，故

.
而，所以
.
【例6】已知是椭圆上的两点，为坐标原点，直线的方向向量依次为和,且是一个与无关的定值.
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）若双曲线的焦点在轴上,渐近线方程为,椭圆与双曲线的离心率依次为和,求的取值范围.
解：（Ⅰ）由题设,直线的方程为,直线的方程为.由方程组
解得.
,
同理可得,

.
因为与无关,
则有.
解得.
（Ⅱ）双曲线的渐近线方程是.
双曲线的方程为
所以,,.
令,由可知,.
设,则
由于在内是增函数,
所以.
于是,的取值范围是.
【例7】已知向量，动点M到定直线y=1的距离等于d，并且满足，其中O是坐标原点，k是参数，
（Ⅰ）求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；
（Ⅱ）如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e满足
≤e≤，求k的取值范围.
解：(Ⅰ)令M(x,y)，则

∴

代入条件
这就是动点M的轨迹方程
当k=1时，表示直线y=0；
当k=0时，表示圆；
当k>1时，表示双曲线；
当0<k<1时或k<0时，表示椭圆
（Ⅱ）由点的轨迹为椭圆 1°0<k<1时，a2=1，b2=1-k，c2=k，e2=k

2°k<0时，
结合

综上所述：
【例8】已知动直线l:y=kx+2与椭圆+y2=1交于A,B两点,y轴上有一动点P(0,b).令向量v=(a,b),其中a为一个给定的常数(a＜,且有{b|+与v共线}=(－∞,∪(0.+∞).求出a的值.

解：设A为(x1,y1),B为(x2,y2),线段AB中点为M(xo,yo),
∵+=2
∴+与v共线等价于与v共线,
∵=(xo,yo－b),v=(a,b),
∴由与v共线得
bxo－a(yo－b)=0,即bxo－ayo+ab=0,
由,
消去y得+(kx+2)2=1,
即(1+4k2)x2+16kx+12=0,(※)
两根为x1,x2,x1+x2=.
xo==,yo=kxo+2=,
∴－+ab=0,
b==.
∵{b|+与v共线}=(－∞,∪(0,+∞),
∴≤－,或＞0,
∴－3≤4k2－+1＜0,或4k2－+1＞0,
又方程(※)的△=(16k)2－4×12(1+4k2)＞0,
得k＜,或k＞.
∴必须且只需函数f(x)=4x2－x+1,
在x＜,或x＞时,最小值为－3.
∵f(x)图象的对称轴是x=＜0,于是由f(x)图象可知:
(1)当<,即－＜a＜0时,f(x)≥f()=－3,
∴+1=－3,解得a=－1;
(2)当＜0,即a－时,f(x)＞f(),
∴此时,f(x)无最小值.
∴常数a=－1.
【例9】已知A、B是椭圆()的一条弦，向量交于M,且,以M为焦点，以椭圆的右准线为相应准线的双曲线与直线AB交于N（）.
（=1\*ROMANI）求椭圆的离心率为
(=2\*ROMANII)设双曲线的离心率为，,求的解析式,并求它的定义域和值域.
解：（=1\*ROMANI）由相交与,可知的中点,
又由可知.
设A、B，则，，
因为A、B在椭圆上，∴，
两式相减得，
∴，
即，
又，∴，