四川省绵阳市高级数学理科第三次诊断性考试卷 人教版试卷.doc

[参考答案]

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上．
BBDCBAACDCDB
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
13．2714．15．②④16．3.2
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（Ⅰ）由得，
∴，得x≠2k+，且，k∈Z
∴函数f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠2k+，，k∈Z}．…3分
又
=，
所以，函数f（x）的周期是2．……………………8分
（Ⅱ）在上取值列表为：
x0
y
x
f(x)不存在0110不存在不存在0

……………………12分

（此题源于课本第一册下101页第5题）
18．由题意知，的取值为－6，－3，0，3．
∵珠子是等可能地随机滚入三个盒子中，∴珠子滚入每个盒子的概率都是．…3分
∴P（=－6）==，P（=－3）=2×=，
P（=0）=，P（=3）=．………………9分
∴的分布列是：
－6－303P……………………10分
的数学期望E==0．……………………12分
19．F
A
B
C
E
D
C1
B1
A1
（Ⅰ）取A1C1的中点F，连结DF，
则DF∥AA1，DF=．
∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，
∴B1E∥AA1，而E是BB1的中点，
∴B1E=，∴DF∥B1E且DF=B1E，
∴四边形DEB1F是平行四边形，
从而DE∥B1F，注意到B1F在平面A1B1C1内，
所以DE∥平面A1B1C1．……………………6分
（Ⅱ）假设存在点E使平面EAC1⊥平面ACC1A1，则
过E作EM⊥AC1于M，过B作BN⊥AC于N，连结MN．
∵二面角E―AC1―C是直二面角，即平面EAC1⊥ACC1A，
∴EM⊥平面ACC1A．同理可证BN⊥平面ACC1A．
∴EM∥BN．……………………8分
由B1B∥平面ACC1A1，得EM=BN，
∴四边形EMNB是平行四边形，得MN∥BE，
且MN=BE，MN∥CC1．
N
A
B
C
E
C1
B1
A1
M
在△ABC中，cos∠BAC=，
∴∠BAC=45．在Rt△ABN中，得AN=1．
∵MN∥CC1，∴，
即在棱BB1上存在点E，当时，二面角E―AC1―C是直二面角．…12分
（Ⅱ）如图所示建立空间直角坐标系．则三角形ABC的面积为，
∴点A到BC所在直线的距离AD满足，而BC=，得，
∴．设BE=m，BB1=m（m，≠0），
则，，，C1(0，0，m)．
在此坐标系下，很容易得到平面ACC1A1的一个法向量n=（2，－1，0）．
，．
设平面EAC1的一个法向量为n0=（x0，y0，z0）．
由n0·=0
和n0·=0得
A
B
C
E
C1
B1
A1
z
y
x
D
即，．
取z0=，可得x0=2m－，y0=m－m．
当二面角E―AC1―C是直二面角时，有
n·n0=（2，－1，0）·（x0，y0，z0）=0，
∴2（2m－）－（m－m）=0，解得=3，
即在棱BB1上存在点E，当时，二面角E―AC1―C是直二面角．……12分
20．因为f(x)=，所以f′(x)=+(2x+n)
=[2x2+（2m+n）x+mn+1]·．………………3分
（Ⅰ）当m=1，n=5时，f′(x)=（2x2+7x+6）·，注意到＞0，
则由f′(x)＞0，解得x＜－2或x＞；由f′(x)＜0，解得－2＜x＜．
因此函数f(x)在（－∞，－2）与（，+∞）上递增；
f(x)在（－2，）上递减．……………………6分
（Ⅱ）由已知有f′（0）=mn+1，所以==f′（0）=4，
即mn+1=4，得mn=3．……………………9分
要使函数f(x)=在R上单调递增，只须f′(x)≥0在R上恒成立，
∴只须（2m+n）2－4×2×（mn+1）≤0，即（2m－n）2≤8．
把代入上式，得（－n）2≤8，解得≤n≤3．…………12分
21．（Ⅰ）由2an+1=3an－an－1（n≥2），得2（an+1－an）=an－an－1，
∴，因此数列{an－an－1}是以a2－a1=1为首项，为公比的等比数列，
∴，……………………4分
于是an=（an－an－1）+（an－1－an－2）+…+（a2－a1）+a1
==．………6分
（Ⅱ）由不等式，得，
∴，即，………………8分
所以2＜（4－m）·2n＜8．∵2n为正偶数，4－m为整数，
∴（4－m）·2n=4，或（4－m）·2n=6，
∴或或或
解得或或或
经检验使不等