四川省棠湖中学2020届高三数学上学期开学考试试卷 理.doc

四川省棠湖中学2020届高三数学上学期开学考试试题理
第I卷(选择题共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）
1.已知集合，则
A. B. C. D.
2.＝
A.﹣1 B.﹣i C.1 D.i
3.已知实数，满足约束条件，则的最小值为
A. B. C. D.
4.设向量，则的夹角等于
A. B. C. D.
5.设，，则“”是“”的
A.充分不必要条件 B.充要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知随机变量服从正态分布，，，则)
A.0.89 B.0.78 C.0.22 D.0.11
7.若，则
A. B. C. D.
8.在中，，，则的最大值为
A. B. C. D.
9.已知为等差数列的前项和，若，，则数列的公差
A.4 B.3 C.2 D.1
10.已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，且双曲线C与圆在第一象限相交于点A，且，则双曲线C的离心率是
A. B. C. D.
11.设曲线为自然对数的底数上任意一点处的切线为，总存在曲线上某点处的切线，使得，则实数a的取值范围为
A. B. C. D.
12.在三棱锥中，平面ABC，，且三棱锥的体积为，若三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13.某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为______．
14.的展开式中的系数为__________.（用数字作答）
15.已知函数在点处的切线方程为，则．
16.的内角所对的边分别为，已知，，则的最小值为__________．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）
17.（本大题满分12分）
数列满足：，.
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求满足的最小正整数.

18.（本大题满分12分）
某机构用“10分制”调查了各阶层人士对某次国际马拉松赛事的满意度，现从调查人群中随机抽取16名，如图茎叶图记录了他们的满意度分数以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶：

（1）指出这组数据的众数和中位数；
（2）若满意度不低于分，则称该被调查者的满意度为“极满意”，求从这16人中随机选取3人，至少有2人满意度是“极满意”的概率；
（3）以这16人的样本数据来估计整个被调查群体的总体数据，若从该被调查群体人数很多任选3人，记表示抽到“极满意”的人数，求的分布列及数学期望．

19.（本大题满分12分）
如图，在边长为4的正方形中，点分别是的中点，点在上，且，将分别沿折叠，使点重合于点，如图所示.

试判断与平面的位置关系，并给出证明；
求二面角的余弦值.

20.（本大题满分12分）
设函数,其中为自然对数的底数．
（1）若,求的单调区间;
（2）若,求证:无零点．

21.（本大题满分12分）
已知抛物线的焦点为，椭圆的中心在原点，为其右焦点，点为曲线和在第一象限的交点，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为抛物线上的两个动点，且使得线段的中点在直线上，
为定点，求面积的最大值．

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为为参数，直线与曲线分别交于两点.
（1）若点的极坐标为，求的值；
（2）求曲线的内接矩形周长的最大值.

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知，．
（1）求的最小值
（2）证明：．

2019-2020学年度秋四川省棠湖中学高三开学考试
理科数学试题答案
1.A 2.A 3.A 4.A 5.A 6.D 7.C 8.A 9.B 10.A 11.D 12.D

13.614.80 15.4 16.

17.（1）n=1时，可求得首项，n≥2时，将已知中的n用n-1代换后，与已知作差可得，再验证n=1也符合，即可得到数列{an}的通项；（2）由（1）可得bn的通项公式，由裂项相消法可得Sn，再由不等式，得到所求最小值n．
（1）∵．
n=1时，可得a1＝4，
n≥2时，．
与．
两式相减可得＝