（新课标）高考数学二轮复习 专题5 立体几何 第3讲 立体几何中的向量方法 理-人教版高三全册数学试题.doc

第3讲立体几何中的向量方法

向量法证明线面位置关系
训练提示:
使用空间向量方法证明线面平行,
(1)可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行,然后根据线面平行的判定定理得到线面平行;
(2)可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;
(3)证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量共面,证明面面垂直既可以证明线线垂直,然后使用判定定理进行判定,也可以证明两个平面的法向量垂直.
1.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是
BB1,DD1的中点,用空间向量法证明:
(1)FC1∥平面ADE;
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
证明:如图所示建立空间直角坐标系Dxyz,

则有D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),
F(0,0,1),B1(2,2,2),
所以=(0,2,1),=(2,0,0),=(0,2,1).
(1)设n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量,
则n1⊥,n1⊥,
即⇒
令z1=2,y1=-1,
所以n1=(0,-1,2),因为n1·=-2+2=0,
所以n1⊥,
又因为FC1⊄平面ADE,即FC1∥平面ADE.
(2)因为=(2,0,0),设n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的一个法向量.
由n2⊥,n2⊥,
得⇒
令z2=2,y2=-1,所以n2=(0,-1,2),
所以n1=n2,所以平面ADE∥平面B1C1F.
2.(2015宾川县校级月考)在边长是2的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为AB,A1C的中点.应用空间向量方法求解下列问题.

(1)求EF的长;
(2)证明:EF∥平面AA1D1D;
(3)证明:EF⊥平面A1CD.
(1)解:如图建立空间直角坐标系,则A1(2,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),

C(0,2,0),D1(0,0,2),D(0,0,0),
因为E,F分别为AB,A1C的中点,
所以E(2,1,0),F(1,1,1),
=(-1,0,1),
所以||==.
证明:(2)因为=(-2,0,2)=2,所以EF∥AD1,
又AD1⊂平面AA1D1D,EF⊄平面AA1D1D,
所以EF∥平面AA1D1D.
(3)=(0,-2,0),=(-2,0,-2),
因为·=0,·=0,
所以EF⊥CD,EF⊥A1D,又CD∩A1D=D,
所以EF⊥平面A1CD.
用空间向量求空间角
训练提示:由空间向量法求解线线、线面、面面角的关键是把问题转化为向量与向量之间的关系.
3.(2015辽宁锦州质检)如图所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1.

(1)求直线DF与平面ACEF所成角的正弦值;
(2)在线段AC上找一点P,使与所成的角为60°,试确定点P的
位置.
解:(1)以C为坐标原点,分别以CD,CB,CE所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则

E(0,0,1),D(,0,0),B(0,,0),A(,,0),F(,,1),连接BD,则AC⊥BD.
因为平面ABCD⊥平面ACEF,
且平面ABCD∩平面ACEF=AC,
所以BD⊥平面ACEF,
所以是平面ACEF的一个法向量.
又=(-,,0),=(0,,1),
所以cos<,>==.
故直线DF与平面ACEF所成角的正弦值为.
(2)设P(a,a,0)(0≤a≤),
则=(-a,-a,1),=(0,,0).
因为<,>=60°,
所以cos60°==.
解得a=或a=(舍去),
故存在满足条件的点P(,,0)为AC的中点.
4.(2015大连市高三一模)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面ABCD,PD=AD=1,点E,F分别为AB和PD中点.

(1)求证:直线AF∥平面PEC;
(2)求PC与平面PAB所成角的正弦值.
(1)证明:作FM∥CD交PC于M,连接EM.

因为点F为PD中点,
所以FM=CD,
所以AE=AB=FM,
所以四边形AEMF为平行四边形,
所以AF∥EM,
因为AF⊄平面PEC,EM⊂平面PEC,
所以直线AF∥平面PEC.
(2)解:连接DE,因为∠DAB=60°,
所以DE⊥DC.

如图所示,建立坐标系,则P(0,0,1),C(0,1,0),E(,0,0),
A(,-,0),B(,,0).
所以=(-,,1),
=(0,1,0).
设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z),
因为n·=0,n·=0,
所以取x=1,则z=,
所以平面PAB的一个法向量为n=(1,0,),
=(0,1,-1),
所以设向量n与所成角为θ,
所以cosθ===-,
所以PC与平面PAB所成角的正