第二章(3).doc

用心爱心专心

第三讲抛物线
[知识梳理]
［知识盘点］
一．抛物线的概念
抛物线：平面内与一个定点和一条定直线的的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的，定直线叫做抛物线的.
二．抛物线的标准方程及几何性质
标准方程

图形l
y
F
x
l
y
F
x
范围对称轴轴顶点坐标原点O(0,0)焦点坐标准线方程离心率焦半径标准方程

图形l
y
F
x
l
y
F
x
范围对称轴轴顶点坐标原点O(0,0)焦点坐标准线方程离心率焦半径［特别提醒］
抛物线是历年来高考的重点和难点，复习时应注意以下几点：
(1)抛物线的标准方程有四种类型，所以首先判断类型是解决抛物线问题的关键；
(2)抛物线线的点、准线、焦点这三者通常与抛物线的定义相联系，在解题中，应注意相互转化；
(3)在抛物线的几何性质中，应用广泛的有范围、对称性、顶点坐标等，在解题时，应首 先注意开口方向，焦点位置，以便选择抛物线的标准形式，便于求解；
(4)要特别注意关注焦点弦所在直线方程及焦点弦有关的一些常用性质和结论，注意直线与抛物线相交的问题，提高借助方程处理问题的能力。
[基础闯关]
1．设a≠0，a∈R，则抛物线y=4ax2的焦点坐标为()
(A)（a，0）(B)（0，a）(C)（0，）(D)随a符号而定
2．以抛物线y2＝2px（p＞0）的焦半径|PF|为直径的圆与y轴位置关系为()
(A)相交(B)相离(C)相切(D)不确定
3．（2006年安徽卷）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（）
A．B．C．D．
4．(2006年山东卷）已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是.
5．设抛物线上一点到准线与对称轴的距离分别为10和6，则该点的横坐标为。
6．(2005年重庆卷)连接抛物线上任意四点，组成的四边形可能是(填写所有正确选项的序号)
=1\*GB3①菱形=2\*GB3②有3条件边相等的四边形=3\*GB3③梯形=4\*GB3④平行四边形=5\*GB3⑤有一组对角相等的四边形

[典例精析]
例1.设是抛物线上的一动点，
(1)求点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值；
(2)若，求的最小值.
［剖析］由抛物线方程为知此抛物线的焦点为，准线是，由抛物线的定义知：点到直线的距离等于点到焦点的距离.于是，问题转化为：在曲线上求一点，使点到点与到点的距离最小的问题，从而获问题的解答。
［解］(1)由于，，为抛物线上任意一点，
则，从而知点到点的距离与点到的距离之和的最小值为，所以点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值也为.
Q
O
F
P1
B(3,2)
y
x
(2)如图所示，自点作垂直于抛物线的准线于点，
交抛物线于点，此时，，
那么，即最小值为4.
［警示］与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，由于抛物线和定义在利用上有较大的灵活性，因此，此类问题也有一定的难度.本题中的两小问有一个共性，都是利用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，从而构造出“两点间线段距离最短”，使问题获解。
［变式训练］：
圆心在抛物线上且与轴及抛物线的准线都相切，求此圆的方程。

例2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，设是抛物线上的两个动点(不垂直于轴)，但，线段的垂直平分恒经过定点，求抛物线的方程。
［剖析］由已知“抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，”可设抛物线方程为，利用抛物线的定义可解决。
［解］设抛物线的方程为，其准线为.
设，，即.
在线段的中垂线上，
与轴不垂直，，
故，即.
从而抛物线方程为.
［警示］求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再由条件确定参数p的值.同时，应明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可以求出其他两个.本题根据抛物线的顶点在原点及顶点在轴设出方程，再将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，产生所设方程中的参变量，分析与求解均建立在抛物线的几何性质的基础上进行，难度不大，但基础性较强.
［变式训练］
2．求满足下列条件的抛物线方程
(1)抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，抛物线上一点到焦点的距离为5；
(2)以原点为顶点，从坐标轴为对称轴，并且经过点.

例3．设点为抛物线的顶点，是抛物线的焦点且为过焦点的弦，若，求的面积.
［剖析］本题将焦点弦分成两段，利用定义将焦点弦长用两端点横坐标表示，结合方程，通过韦达定理产生问题的结论。另外，将所在直线方程设为，这样可以避免斜率存在与否