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勾股定理
一、勾股定理
在直角三角形中，三边长为a、b、c，其中c为斜边，则a2＋b2=c2．
如：已知Rt△ABC中，三边长为a、b、c，其中a=3，b=4，则c=__________．
答案：.
二、直角三角形的性质
（1）两锐角互余；
（2）Rt△ABC中，c为斜边，则a2＋b2=c2．
（3）如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，三边长为a，，2a．
（4）等腰直角三角形三边长分别为a，a，．
例1、如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，若AB=5，，∠BCD=30°，求AC的长．

解：
设BD=x，∵CD⊥AB，∠BCD=30°.
∴BC=2BD=2x.
在Rt△BCD中，根据勾股定理得BD2＋CD2=BC2.
即.
解得x=2.
∴BD=2，∵AB=5，∴AD=3.
在Rt△ACD中，由勾股定理有

例2、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD、BE是中线，，AD=5，求AB的长．

解：
设CE=x，CD=y，则AC=2x，BC=2y.
在Rt△ACD和Rt△BCE中，由勾股定理得

例3、如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，求MN．

解：
连接AM，
∵AB=AC，M为BC的中点．
∴AM⊥BC．BM=MC=BC=3.
在Rt△AMB中，由勾股定理得．
设CN=x，则AN=5－x
在Rt△ANM中，MN2=AM2－AN2=42－（5－x）2．
在Rt△CNM中，MN2=MC2－CN2=32－x2．
∴32－x2=42－（5－x）2，解得．
．
方法2：由面积法得：AM·MC=MN·AC.

例4、如图，在△ABC中，∠A=90°，P是AC的中点，PD⊥BC于D，BC=9，DC=3，求AB的长．

解：
连结PB，BD=BC－DC=6．
在Rt△BDP和Rt△PDC中
PD2=BP2－BD2，PD2=PC2－DC2．
∴BP2－BD2=PC2－DC2．
∴BP2－PC2=BD2－DC2=36－9=27．
在Rt△ABP中，AB2=BP2－AP2.
∵AP=PC．
∴AB2=BP2－PC2=27.
．
例5、如图，已知∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求BC和AD的长．

解：
如图，延长AD、BC交于点E．
∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=30°.
∴AE=2AB=4.
在Rt△ABE中，由勾股定理得.

同步测试
一、选择题
1、如图，矩形纸片ABCD中，AB=8cm，把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若，则AD的长为（）

A．4cmB．5cm
C．6cmD．7cm
二、填空题
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对应的边分别是a、b、c．
（1）若a=3cm，b=5cm，则c=__________．
（2）若a=8cm，c=17cm，则b=__________．
（3）若a︰b=3︰4，c=10cm，则a=__________，b=__________．
3、分别以直角三角形的三边为边向形外作正方形，如图中所示的正方形A的面积是__________，B的面积是__________．

4、在Rt△ABC中，斜边AB=2cm，则AB2＋BC2＋CA2=__________cm2．
5、一个直角三角形的两边长分别为3cm和4cm，则它的第三边长为__________．
6、已知：直角三角形的两条直角边长分别为6cm、8cm，那么斜边上的高为__________．
7、矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=__________cm．

8、如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB、CD分别是两底面的直径，AD、BC是母线．若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是__________（结果保留根式）．

三、解答题
9、如图所示，铁路上有A、B两点（看做直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看做两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD=24千米，BC=16千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？

10、如图所示，地面上有一个长方体，一只蜘蛛在这个长方体的顶点A处，一滴水珠在这个长方体的顶点C′处，已知长方体的长为6m，宽为5m，高为3m，蜘蛛要沿着长方体的表面从A处爬到C′处，沿着怎样的路线爬行的距离最短？你能求出这个最短距离吗？

答案：1、C2、（1）；（2）15cm；（3）6cm，8cm3、25；2564、85、5cm或
6、4.8cm点拨：设斜边上的高为h，．
点拨：设DE=BE=xcm，则A