5.1 2007上海数学（文）.doc

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2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）

数学试卷(文史类)

考生注意：
1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．
2．本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟．
请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．

一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，
每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．方程的解是．
【答案】
【解析】
2．函数的反函数．
【答案】
【解析】由
3．直线的倾斜角．
【答案】
【解析】.
4．函数的最小正周期．
【答案】
【解析】.
5．以双曲线的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点
的抛物线方程是．

【答案】
【解析】双曲线的中心为O（0,0），该双曲线的右焦点为F（3,0），
则抛物线的顶点为（0,0），焦点为（3,0），所以p=6，所以抛物线方程是)。
6．若向量的夹角为，，则．
【答案】

A
【解析】。
7．如图，在直三棱柱中，，
，，则异面直线与所成角
的大小是（结果用反三角函数值表示）．
【答案】
【解析】异面直线与所成角为，易求，
。
8．某工程由四道工序组成，完成它们需用时间依次为天．四道工
序的先后顺序及相互关系是：可以同时开工；完成后，可以开工；
完成后，可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序需要的天数最大是．
【答案】3
【解析】因为完成后，才可以开工，C完成后，才可以开工，完成A、C、D
需用时间依次为天，且可以同时开工，该工程总时数为9天，
。
9．在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是
（结果用数值表示）．
【答案】
【解析】剩下两个数字都是奇数，取出的三个数为两偶一奇，
所以剩下两个数字都是奇数的概率是。
10．对于非零实数，以下四个命题都成立：
①；②；
③若，则；④若，则．
那么，对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是．
【答案】②④
【解析】对于①：解方程得ai，所以非零复数ai使得，
①不成立；②显然成立；对于③：在复数集C中，|1|=|i|，则，
所以③不成立；④显然成立。则对于任意非零复数，上述命题仍然成立的
所有序号是②④

11．如图，是直线上的两点，且．两个半径
相等的动圆分别与相切于点，是这两个圆的公
共点，则圆弧，与线段围成图形面积的
取值范围是．
【答案】
【解析】如图，当外切于点C时，最大，
此时，两圆半径为1，等于矩形ABO2O1的面积
减去两扇形面积，
，
随着圆半径的变化，C可以向直线靠近，
当C到直线的距离。

二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A，B，C，D
的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后
的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都
写在圆括号内），一律得零分．
12．已知，且（是虚数单位）是一个实系数一元二次方程
的两个根，那么的值分别是（）
Ａ．Ｂ．
Ｃ．Ｄ．
【答案】A
【解析】因为2ai，bi（i是虚数单位）是实系数一元二次方程的两个根，
所以2ai与bi互为共轭复数，则a=－3，b=2。选A。
13．圆关于直线对称的圆的方程是（）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
【答案】C
【解析】圆，圆心（1，0），半径，关于直线对称的圆半径不变，排除A、B，两圆圆心连线段的中点在直线上，C中圆的圆心为（－3，2），验证适合，故选C。
14．数列中，则数列的极限值（）
Ａ．等于 Ｂ．等于 Ｃ．等于或 Ｄ．不存在
【答案】B
【解析】，选B。
15．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，
总可推出成立”．那么，下列命题总成立的是（）
Ａ．若成立，则成立
Ｂ．若成立，则成立
Ｃ．若成立，则当时，均有成立
Ｄ．若成立，则当时，均有成立
【答案】D
【解析】对A，因为“原命题成立，否命题不一定成立”，所以若成立，则不一定成立；对B，因为“原命题成立，则逆否命题一定成立”，所以只能得出：若成立，则成立，不能得出：．若成立，则成立；对C，当k=1或2时，不一定有成立；对D，对于任意的，均有成立。故选D。

三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
16．（本题满分12分）

如图,在正四棱锥中，，直线与平面所成的角为，
求正四棱锥的体积．

【解析】作平面，垂足为．连接，

是正方形的中心，是直线与平面
所成的角．
＝，．．
，，
．

17．（本题满分14分）
在中，分别是三个内角的对边．若，
，求的面积．
【解析】由题意，得为锐角，