排位考试4简明答案.pdf

仰望星空，脚踏实地

2019版排位考试4

一.选择题(8题，每题4分，共32分)

1.若푓(푥)与푔(푥)在区间(−∞,+∞)内皆可导，且푓(푥)<푔(푥)，则必有

(A)푓(−푥)>푔(−푥)(B)푓′(푥)<푔′(푥)

푥푥
lim푓(푥)<lim푔(푥)푓(푡)푑푡<푔(푡)푑푡
(C)(D)∫0∫0
푥→푥0푥→푥0
答案：C.

5716
2.设푓(푥)=++，则下列结论正确的是
푥−1푥−2푥−3

(A)푓(푥)在区间(−∞,+∞)内没有零点

(B)푓(푥)在区间(−∞,+∞)内仅有两个零点

(C)푓(푥)在区间(−∞,+∞)内至少有一个零点

(D)푓(푥)在区间(−∞,+∞)内仅有一个零点

答案：B.

3.关于二元函数的连续性，下列结论正确的是

(A)若푓(푥,푦)沿任意直线푦=푘푥在点푥0处连续，则푓(푥,푦)在点(푥0,푦0)处连续

(B)若푓(푥,푦)在点(푥0,푦0)处连续，则푓(푥0,푦)在点푦0处连续

′′
(C)若푓(푥,푦)在点(푥0,푦0)处，푓푥(푥0,푦0)及푓푦(푥0,푦0)存在，则푓(푥,푦)在点(푥0,푦0)

处连续

(D)以上说法均不正确

答案：B.

푧휕푢
4.设푢=푥푦，则|=
휕푦(3,2,2)
(A)4ln3(B)8ln3(C)324ln3(D)324ln2ln3

答案：C.

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5.设푧=푧(푥,푦)是由方程퐹(푥−푧,푦−2푧)=0所确定的隐函数，则必

有

휕푧휕푧휕푧휕푧휕푧휕푧휕푧휕푧
(A)+2=1(B)−2=1(C)−2=1(D)+=1
휕푥휕푦휕푥휕푦휕푦휕푥휕푥휕푦
答案：A.

6.已知函数푓(푥,푦)=푥2+푥푦−푦2的驻点为(0,0)，则푓(0,0)是푓(푥,푦)

的

(A)极大值(B)极小值(C)非极值(D)不能确定

答案：C.

122
7.设퐷是以原点为圆心，푟为半径的圆域，则lim∬푒−푥−푦푑푥푑푦=
푟→0푟2퐷
(A)1(B)π(C)푒−1(D)푒−2

答案：B.

1122
8.设函数푓(푥,푦)为连续函数，则∫−1푑푥∫0푦푓(푥,푦)푑푦=

11221푥22
(A)2∫0푑푥∫0푦푓(푥,푦)푑푦(B)4∫0푑푥∫0푦푓(푥,푦)푑푦
1푦22
(C)2∫0푑푦∫−푦푦푓(푥,푦)푑푥(D)0
答案：A.

二.填空题(6题，每题4分，共24分)

2
−
9.푙푖푚[(푥−3)푒푥−푥]=_______.
푥→∞
答案：-5.

10.푓(푥)=푙푛[푒푐표푠푥(푥+1)]，则푓(푛)(푥)=______.

푛휋(푛−1)!
答案：푐표푠(푥+)+(−1)푛−1.
2(푥+1)푛

푥2+푎2
11.设푓(푥,푦)=(푥−2)2√푦−푥(푦2−1)푎푟푐푠푖푛√，则푑푓(0,1)=
푦

___.

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答案：−4푑푥+2푑푦.

2{23}
12.∫−2푚푎푥1,푥,푥푑푥=______.
97
答案：.
12
ln(1+푥)+ln(1+푦)
13.lim=_______.
푥→0+푥+푦
푦→0+
答案：1.

1푒푦
14.交换二次积分∫푑푦∫푓(푥,푦)푑푥=_______.
0−√푦
01()11()푒1()
答案：∫−1푑푥∫푥2푓푥,푦푑푦+∫0푑푥∫0푓푥,푦푑푦+∫1푑푥∫푙푛푥푓푥,푦푑푦.
三.解答题(9题，共94分)

1
푡푎푛푥−푥푎푟푐푡푎푛(푐표푡푥−)
15.(本题9分)求极限푙푖푚()푥.
푥→0푥−푠푖푛푥
答案：1.

1
2푠푖푛푥2
16.(本题9分)∫1(+√푙푛(1−푥))푑푥.
−푥2+1
2
3
答案：푙푛3−2푙푛2.
2

()푥푡6(32)
17.(本题10分)设푓푥=∫0푒2푡−푡−2푡+1푑푡.
(1)求푓′(푥)=0的根；

(2)证明：푓′′(푥)=0在(−1,1)上至少有两个实根.

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1
答案：(1)푓′(푥)=0有三个根푥=−1,푥=1,푥=；
1232
11
(2)在区间[−1,],[,1]分别使用罗尔定理即可.
22

푥−푦
ln(1+√푥2+푦2),(푥,푦)≠(0,0)
18.(本题10分)设푓(푥,푦)={√푥2+푦2
0,(푥,푦)=(0,0)
试讨论푓(푥,푦)在点(0,0)处的连续性、可偏导性与可微性.

答案：푓(푥,푦)在点(0,0)处连续，可偏导且可微.

19.(本题11分)已知函数푧=푓(푥,푦)由方程푥2(푦+푧)−

4√푥2+푦2+푧2=0确定，求푧在点푃(−2,2,1)处的全微分푑푧.

71
答案：