空间点线面位置关系例题训练.docx

空间点、线、面的位置关系
【基础回顾】
1．平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过____________的一条直线．
公理3：经过____________________的三点，有且只有一个平面．
推论1：经过____________________，有且只有一个平面．
推论2：经过________________，有且只有一个平面．
推论3：经过________________，有且只有一个平面．
2．直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类
eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(,)),异面直线：不同在任何一个平面内))
(2)异面直线判定定理
过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内______________的直线是异面直线．
(3)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的____________叫做异面直线a，b所成的角．
②范围：____________.
3．公理4
平行于____________的两条直线互相平行．
4．定理
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角________．

自我检测
1．若直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，则直线a与c的位置关系是____________．
2．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对．
3．三个不重合的平面可以把空间分成n部分，则n的可能取值为________．
4．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成角的大小为________．
5．下列命题：
①空间不同三点确定一个平面；
②有三个公共点的两个平面必重合；
③空间两两相交的三条直线确定一个平面；
④三角形是平面图形；
⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；
⑥垂直于同一直线的两直线平行；
⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；
⑧两组对边相等的四边形是平行四边形．
其中正确的命题是________(填序号).

【例题讲解】

1、平面的基本性质
例1如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，AH∶HD=3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连结EH.

求证：EH、FG、BD三线共点．

变式迁移1
如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG相交于点O.
求证：B、D、O三点共线．

2、异面直线的判定
例2如图所示，直线a、b是异面直线，A、B两点在直线a上，C、D两点在直线b上．求证：BD和AC是异面直线．

变式迁移2
如图是正方体或四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的是________(填序号)．

3、异面直线所成的角
例3已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为
________________________________________________________________________．

变式迁移3
在空间四边形ABCD中，已知AD＝1，BC＝eq\r(3)，且AD⊥BC，对角线BD＝eq\f(\r(13),2)，AC＝eq\f(\r(3),2)，求AC和BD所成的角．

二、空间的平行关系
基础回顾
1．空间直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)直线a和平面α的位置关系有三种：________、__________、__________.
(2)两个平面的位置关系有两种：________和________．
2．直线与平面平行的判定与性质
(1)判定定理：
如果平面外一条直线和这个________________平行，那么这条直线与这个平面平行．
(2)性质定理：
一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．
3．平面与平面平行的判定与性质
(1)判定定理：
如果一个平面内有________________都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
(2)性质定理：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线________．
自我检测
1．下列各命题中：
①平行于同一直