第三章(2).doc

用心爱心专心

第三讲生活中的优化问题
[知识梳理]
［知识盘点］
1．生活中常遇到求利润，用料，效率等一些实际问题，这些问题通常称为。
2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：
（1）分析实际问题中各个量之间的关系，建立实际问题的，写出实际问题中，根据实际问题确定。
（2）求函数的，解方程，得出定义域内的实根，确定。
（3）比较函数在和的函数值的大小，获得所求函数的最大（小）值。
（4）还原到原实际问题中作答。
［特别提醒］
1．利用导数解决实际问题，关键在于要建立适当的数学模型（即函数关系），如果函数在区间内只有一个点使得的情形，此时函数在这点有极大（小）值，那么可不与区间端点的函数值进行比较，也可以知识这一点即为最大（小）值点。
2．实际应用中准确地列出函数的解析式，确定函数的定义域是求解的关键。
[基础闯关]
1．将8分为两个数之和，使两数的立方和最小，则这两个数可分为（）
A．2和6B．4和4C．3和5D．以上都不对
2．（2007年山东临沂）某汽车运输公司购买了一批毫华大客车投入运营，据市场分析，每辆客车运营的总利润为（万元）与运营年数满足二次函数，则每辆客车运营多少年报废，才能使其运营年平均利润最大？（）
A．3B．5C．7D．10
3．设底面为正三角形的直棱柱的体积为，那么其表面积最小时，底面边长为（）
A．B．C．D．
4．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为（）
A．10B．15C．25D．50
5．某工厂需要围建一个面积为512m2的矩形堆料场，一边可以处用原有的墙壁，其它三面需要砌新的墙壁。当砌墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为。
6．某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每价的售价为200元，对于多于150件的订购合同，每超过1件，则每件的售价比原来减少1元.那么订购件的合同会使公司的收益最大.
[典例精析]
例1．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测：存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为，贷款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放贷出去，试确定当存款利率定为多少时，银行可获取最大收益？
［剖析］银行收益=贷款收益－存款利息，故可设出存款利率，将银行收益表示为利率的函数，利用导数求出函数的最值即可.
［解］设存款利息为，则应用，依题意：存款量是，银行应支付的利息是，贷款的收益是，所以银行的收益是。
由于，令，得或（舍去），又当时，；当时，，所以当时，取得最大值，即当存款利率定为时，银行可获得最大利润。
［警示］生活中的许多优化问题，往往可以归结为求函数的最大值或最小值的问题，在利用导数解决这类优化问题时，其一般步骤是：(1)设出恰当的未知量，并确定未知量的取值范围(即函数的定义域)；(2)依题意将所求最值的量表示为未知量的函数；(3)求出函数的导数，令导数为0，得到导数为0的点；(4)通过单调性确定出函数的最值点及最值，并解决实际问题。
［变式训练］：
1．（2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗
油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：
已知甲、乙两地相距100千米。
（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

例2．某公司是一家专做产品的国内外销售的企业，每一批产品上市销售天内全部售完。该公司对第一批产品上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图一、图二、图三所示，其中图一中的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图二中的抛物线表示国内市场的日销售量与上市时间的关系；图三中的折线表示的是每件产品的销售利润与上市时间的关系（国内外市场相同）。
（Ⅰ）分别写出国外市场的日销售量、国内市场的日销售量与第一批产品的上市时间的关系式；
（Ⅱ）第一批产品上市后的哪几天，这家公司的日销售利润超过万元？

［剖析］本题给出的是随着时间的不同，对应的日销售量的函数图象也不相同的问题，因此需要建立的函数解析式应为一个分段函数的形式，应针对自变量的取值不同分别求出其最大值，然后再进行比较。
［解］解：（Ⅰ），（）；（Ⅱ）设每件产品的销售利润为，则，从而这家公司的日销售利润的解析式为

(=2\*ROMANII)=1\*GB3①当时，在区间上单调递增，从而；
=2\*GB3②当时，由；
③当时，.
综上所述，第一批产品上市后，在第天，这家公司的日销售利润超过万元
［警示］对于分段函数的问题，应该对于自变量分段进行考虑，对于每一段考虑其最值的情况，然后再将这几段的最值情况综合起来进行比较。
［变式训练］
2．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监