完整版将军饮马问题.doc

(完整版)将军饮马问题
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将军饮马问题

起源：
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古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：将军从A地出发到河边饮马，然后再到B地军营视察,显然有许多走法.问走什么样的路线最短呢？
精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答。这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题.
让我们来看看数学家是怎样解决的。海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题.根据公理1：连接两点的所有线中，直线段最短.只知道两点间直线段最短，那么显然要把折线变成直线再解。如果直接连AB，与l不会相交，怎么办呢？当A、B位于l的异侧时，就有交点了。于是我们就希望在l的另一侧找一点A′，使得连A′B与l相交于P点后（这时A′P＋PB最短）线段A′P与AP一样长．由对称的知识可知道,A关于l的对称点就有资格扮演A′的角色。
图1
解:如图1先作A关于l的对称点A′，连接A′B与l相交于P点,则AP＋PB就最小．那么这样作出的AP＋PB是否真的最小呢？要证明它只需要在l上任取一点P′，证明AP′＋P′A＞AP＋PB就行了。这点好证明:事实上因为A′、A关于l对称，有AP＝A′P、AP′＝A′P′,又由公理2:三角形的两边之和大于第三边．
AP′＋P′B=A′P′＋P′B＞A′B＝A′P＋PB＝AP＋PB．
原来海伦解决本问题时,是利用作对称点把折线问题转化成直线问题求解的。后来这一方法已形成了思想，它在解决许多问题中都在起作用。现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理。
例题分析：
1、已知A,B两点在MN同侧，如图所示，在MN上求一点P，使：│PA━PB│最大
连接BA并延长交MN于P│PA━PB│=|AB｜
在MN上再任意取一点P’三角形P’AB中│P’A━P'B│<AB=│PA━PB│
2、两点在直线的异侧如何做直线上一点是其到两点之差最短
作线段AB的中垂线，交直线l于点P，点P即为所求.
此时｜PA—PB｜=0
3、直线L及异侧两点AB求作直线L上一点P，使P与AB两点距离之差最大
作A点关于L的对称点A1，连接A1B,并延长交L的一点就是所求的P点。
这样就有：PA=PA1,P点与A，B的差PA-PB=PA1—PB=A1B。
下面证明A1B是二者差的最大值。
首先在L上随便取一个不同于P点的点P1,这样P1A1B就构成一三角形，且P1A1=P1A。
根据三角形的性质,二边之差小于第三边，所以有：
P1A1-P1B<A1B，即：P1A—P1B<A1B。
这就说明除了P点外，任何一个点与A，B的距离差都小于A1B.反过来也说明P点与A，B的距离差的最大值是A1B。
所以，P点就是所求的一点.
4、在MN上求作一点，使PA+PB最短
做B关于MN的对称点B'连接AB’交MN于P
P为所求点
在mn上另取一点P'不和P重合。连接AP'P'B’
利用三角行二边之和大于第三边和得AB'最小
5、已知A，B两点在直线MN同侧，在MN上求一点P,分别使|PA—PB｜最小
作AB的中垂线与MN的交点,即为点P
此时｜PA—PB｜为0，所以必然最小