创新设计(江苏专用)高考数学二轮复习 上篇 专题整合突破 专题三 数列 第2讲 数列的综合应用练习 文-人教版高三全册数学试题.doc 立即下载
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专题三数列第2讲数列的综合应用练习文
一、填空题
1.(2015·全国Ⅱ卷)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=____________.
解析由题意,得S1=a1=-1,又由an+1=SnSn+1,得Sn+1-Sn=SnSn+1,所以Sn≠0,所以eq\f(Sn+1-Sn,SnSn+1)=1,即eq\f(1,Sn+1)-eq\f(1,Sn)=-1,故数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是以eq\f(1,S1)=-1为首项,-1为公差的等差数列,得eq\f(1,Sn)=-1-(n-1)=-n,所以Sn=-eq\f(1,n).
答案-eq\f(1,n)
2.(2012·江苏卷改编)各项均为正数的等比数列{an}满足a1a7=4,a6=8,若函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+a10x10的导数为f′(x),则f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))=________.
解析因为各项均为正数的等比数列{an}满足a1a7=4,a6=8,所以a4=2,q=2,故an=2n-3,又f′(x)=a1+2a2x+3a3x2+…+10a10x9,所以f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))=2-2+2
×2-2+3×2-2+…+10×2-2=2-2×eq\f(10×11,2)=eq\f(55,4).
答案eq\f(55,4)
3.已知数列{an}满足a1=0,a2=1,an+2=3an+1-2an,则{an}的前n项和Sn=________.
解析∵an+2=3an+1-2an,∴an+2-an+1=2(an+1-an),
∴eq\f(an+2-an+1,an+1-an)=2,
∴数列{an+1-an}是以1为首项,2为公比的等比数列,
∴an+1-an=2n-1,
∴a2-a1=20,a3-a2=21,a4-a3=22,…,an-an-1=2n-2,
∴an-a1=20+21+…+2n-2=eq\f(1-2n-1,1-2)=2n-1-1,
∴an=2n-1-1,∴Sn=(20+21+…+2n-1)-n=eq\f(1-2n,1-2)-n=2n-n-1.
答案2n-n-1
4.(2015·南京、盐城模拟)已知等比数列{an}的首项为eq\f(4,3),公比为-eq\f(1,3),其前n项和为Sn,若A≤Sn-eq\f(1,Sn)≤B对n∈N*恒成立,则B-A的最小值为________.
解析依题意得Sn=eq\f(\f(4,3)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,3)))\s\up12(n))),1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,3))))=1-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,3)))eq\s\up12(n),
当n为奇数时,Sn=1+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(n)∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1,\f(4,3)));
当n为偶数时,Sn=1-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(n)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,9),1)).
由函数y=x-eq\f(1,x)在(0,+∞)上是增函数得Sn-eq\f(1,Sn)的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(17,72),0))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(7,12))),因此有A≤-eq\f(17,72),B≥eq\f(7,12),B-A≥eq\f(7,12)+eq\f(17,72)=eq\f(59,72),即B-A的最小值是eq\f(59,72).
答案eq\f(59,72)
5.数列{an}的通项an=n2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2\f(nπ,3)-sin2\f(nπ,3))),其前n项和为Sn,则S30为________.
解析因为an=n2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2\f
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