《1.4.1全称量词与1.4.2存在量词》课时提升作业.doc

课时提升作业(七)
全称量词存在量词

(30分钟50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.(2014·宁波高二检测)将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称命题是()
A.存在a0,b0∈R,使++2a0b0=(a0+b0)2
B.存在a0<0,b0>0,使++2a0b0=(a0+b0)2
C.存在a0>0,b0>0,有++2a0b0=(a0+b0)2
D.对所有a,b∈R,有a2+b2+2ab=(a+b)2
【解析】选D.根据全称命题的一般形式为“所有x,有p(x)”.故全称命题是对所有a,b∈R,有a2+b2+2ab=(a+b)2.
2.下列语句是特称命题的是()
A.整数n是2和7的倍数
B.存在整数n0,使n0能被11整除
C.x>7
D.∀x∈M,p(x)成立
【解析】选B.B选项中有存在量词“存在”,故B项是特称命题,A和C对应的语句不能判断真假,不是命题,D是全称命题.
3.(2012·福建高考)下列命题中,真命题是()
A.∃x0∈R,≤0
B.∀x∈R,2x>x2
C.a+b=0的充要条件是=-1
D.a>1,b>1是ab>1的充分条件
【解题指南】要判断全称命题正确,要进行严谨的证明;而要判断其错误,只要举一反例即可;相应地,要证明特称命题正确,只要举一正例即可;而判断其错误,要证明所有对象都在所给属性的对立面;同时要注意充分条件和必要条件的意义与判断方法.
【解析】选D.由于∀x∈R,ex>0恒成立,
所以∃x0∈R,≤0不正确;
当x=2时,2x=x2,所以∀x∈R,2x>x2不正确;
a+b=0中b可取0,而=-1中b不能取0,因此,两者不等价;a>1,b>1⇒ab>1,反之不能成立,所以a>1,b>1是ab>1的充分条件.
4.(2014·成都高二检测)下列特称命题是假命题的是()
A.存在x0∈Q,使2x0-=0
B.存在x0∈R,使+x0+1=0
C.有的素数是偶数
D.有的有理数没有倒数
【解析】选B.对于任意的x∈R,x2+x+1=+>0恒成立.
5.(2013·安阳高二检测)下列命题中是全称命题并且是真命题的是()
A.每一个二次函数的图象都是开口向上
B.存在一条直线与两个相交平面都垂直
C.存在一个实数x0,使-3x0+6<0
D.对任意c≤0,若a≤b+c,则a≤b
【解析】选D.每一个二次函数的图象都是开口向上是假命题;存在一条直线与两个相交平面都垂直,是特称命题,且是假命题;存在一个实数x0,使-3x0+6<0是特称命题,且是假命题;对任意c≤0,若a≤b+c,则a-b≤c≤0,则a≤b,是全称命题,且是真命题.
6.(2014·大连高二检测)若存在x0∈R,使a+2x0+a<0,则实数a的取值范围是
()
A.a<1 B.a<-1
C.-1<a<1 D.-1<a≤1
【解析】选A.当a≤0时,显然存在x0∈R,
使a+2x0+a<0.
当a>0时,需满足Δ=4-4a2>0,
得-1<a<1,故0<a<1,
综上所述,实数a的取值范围是a<1.
【举一反三】本题中条件若换为“对于∀x∈R,都有ax2+2x+a<0,”其结论又如何呢?
【解析】选B.由题意得所以a<-1.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.(2014·广州高二检测)命题“对任意一个实数x,x2+2x+1都不小于零”用“∃”或“∀”符号表示为___________.
【解析】将文字语言用符号语言可表示为∀x∈R,x2+2x+1≥0.
答案:∀x∈R,x2+2x+1≥0
8.下列命题,是全称命题的是;是特称命题的是.
①正方形的四条边相等;
②有两个角是45°的三角形都是等腰直角三角形;
③正数的平方根不等于0;
④至少有一个正整数是偶数.
【解析】命题①②③中省略了全称量词“所有的”,故①②③是全称命题,命题④中含有存在量词“至少有一个”,故④是特称命题.
答案:①②③④
9.(2014·宿州高二检测)若∀x∈R,f(x)=(a2-1)x是单调减函数,则a的取值范围是.
【解析】依题意有:0<a2-1<1⇔⇔⇔-<a<-1或1<a<.
答案:(-,-1)∪(1,)
【变式训练】若“∃x0∈R,=m”是真命题,则实数m的取值范围是.
【解析】由于“∃x0∈R,=m”是真命题,则实数m的取值集合就是指数函数f(x)=2x的值域,即(0,+∞).
答案:(0,+∞)
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.(2014·洛阳高二检测)判断下列命题是全称命题还是特称命题,并用量词符号“∀”“∃”表示.
(1)两个有理数之间,都有一个无理数.
(2)有一个凸n边形,外角和等于180°.
(3)存在一个三棱锥,使得它的每个侧面都是直角三角形.
【解析