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课题：9．10研究性课题：多面体欧拉定理的发现(一)
教学目的：
1.了解多面体与简单多面体的概念、发现欧拉公式
2.培养学生发现问题、探究问题、归纳总结能力
教学重点：欧拉公式的发现过程
教学难点：欧拉定义及其证明
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
本节为研究性课题通过研究欧拉定理的发现过程，让学生了解欧拉公式及其简单应用，扩大学生的知识面，培养学生学习数学的兴趣
教学过程：
一、复习引入：
1欧拉生平事迹简说：欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位，1783年9月18日于俄国彼得堡去逝（详细资料附后）
2多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．
3．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体．
4．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等
二、讲解新课：
1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体

说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体

2．五种正多面体的顶点数、面数及棱数：
正多面体顶点数面数棱数正四面体446正六面体8612正八面体6812正十二面体201230正二十面体122030
发现：它们的顶点数、面数及棱数有共同的关系式：．
上述关系式对简单多面体都成立
3.欧拉公式的探究
1．请查出图⑹的顶点数V、面数F、和棱数E，并计算V＋F－E＝6+6-10=2
2．查出图⑺中的顶点数V、面数F、和棱数E，并验证上面公式是否还成立？

3.假如图⑸→图⑻的多面体表面是像皮膜，向内充气则⑸⑹将变成一个球面，图⑺将变成两个紧贴的球面，图⑻将变成一个环面。

可以验证：只有像⑸⑹这样，经过连续变形，表面能变为一个球面的多面体才满足公式V＋F－E＝2。这个公式称为欧拉公式，这样的多面体称为简单多面体。
4．欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数、面数及棱数有关系式：
．
证明:(方法一)

⑴如图⑽：将多面体的底面ABCDE剪掉，抻成平面图形，其顶点、棱数，面数（剪掉面用右图中ABCDE表示）均没有变，故所有面的内角总和不变。
⑵设左图中共有F个面，分别是边形，顶点数为V，棱数为E,则.
左图中，所有面的内角总和为

＝
＝

⑶右图中，所有面的内角总和为

＝
⑷＝
整理得.
（方法二）以四面体为例来说明：
将它的一个面去掉，并使其变为平面图形，四面体的顶点数、棱数与剩下的面数变形后都没有变因此，要研究、和的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可

对平面图形，我们来研究：
（1）去掉一条棱，就减少一个面例如去掉，就减少一个面．
同理，去掉棱、，也就各减少一个面、．
所以、的值都不变，因此的值也不变

（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点例如去掉，就减少一个顶点．同理，去掉就减少一个顶点，最后剩下
（如图）．

在此过程中的值不变，但这时面数是，
所以的值也不变
由于最后只剩下，所以，
最后加上去掉的一个面，就得到．
4．欧拉示性数：
在欧拉公式中令，叫欧拉示性数
说明：（1）简单多面体的欧拉示性数．
（2）带一个洞的多面体的欧拉示性数．例如：长方体挖去一个洞连结底面相应顶点得到的多面体．
三、讲解范例：
例1一个面体共有8条棱，5个顶点，求
解：∵，∴，∴．例2．一个正面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求
解：∵，，
∴，
∴．
四、小结：欧拉定理及其证明；欧拉示性数
五、课后作业：

六、板书设计（略）
七、欧拉（EulerLonhard，1707～1783）欧拉，瑞士数学家及自然科学家在1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国的彼得堡去逝欧拉出生于牧师家庭，自幼已受到父亲的教育13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位欧拉的父亲希望他学习神学，但他最感兴趣的是数学在上大学时，他已受到约翰第一．伯努利的特别指导，专心研究数学，直至18岁，他彻底的放弃当牧师的想法而专攻数学，于19岁时（1726年）开始创作文章，并获得巴黎科学院奖金1727年，在丹尼尔．伯努利的推荐下，到俄国的彼得堡科学院从事研究工作并在1731年接替丹尼尔第一．伯努利，成为物理学教授
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