图同构的判定研究.docx

图同构的判定研究
论文：图同构的判定研究
摘要：图同构问题是计算机科学中的经典问题之一。它关注的是在两个图中是否存在一一对应的节点匹配方式，使得边的连通性和度数相同。在本文中，我们将介绍图同构问题的定义和相关概念，然后讨论现有的图同构判定算法，并进一步讨论可能的改进方案以提高算法的效率和准确性。
关键词：图同构；算法；度数序列；连通性；匹配
1.导言
图同构问题是计算机科学中的重要问题之一。给定两个无向图G和H，图同构问题的目标是判断它们是否同构，即在节点匹配的情况下，两个图的边的连通性和度数序列是否相同。
图同构问题不仅在计算机科学中有应用，它在化学、物理和社会学等许多领域也有广泛的应用。例如，在化学中，同构性是分子或晶体在真实世界中的重要性质之一，而在社会学中，同构性则用于研究社会群体之间的交互关系。
2.相关概念
在讨论图同构问题之前，我们先介绍几个相关概念。
2.1无向图
我们将无向图定义为由一组节点和一组边组成的结构。边是无序的，它连接了两个节点。记G=(V,E)，其中V为节点的集合，E为边的集合。
2.2度数
一个节点的度数等于与它相邻的边的数量，或者等于它所连接的节点的数量。如果节点i与节点j相邻，则它们之间有一条边，因此i的度数加1，j的度数也加1。
2.3度数序列
度数序列是一个列表，其中每个元素表示一个节点的度数。例如，图G=(V,E)，其中V={1,2,3,4}，E={(1,2),(2,3),(3,4),(4,1)}的度数序列为{2,2,2,2}。
2.4连通性
一个无向图是连通的，如果从图中的任何一个节点可以到达它的任何一个节点。否则，它是不连通的。
2.5图同构
两个无向图G=(V,E)和H=(W,F)是同构的，如果存在一一对应的节点匹配方式，使得边的连通性和度数序列相同。
3.图同构问题的难度
图同构问题是NP类问题之一，因此它被认为是难解问题。当前尚未找到一个解决图同构问题的多项式时间算法。虽然有一些算法可以在实际应用中有效地解决很多问题，但在最坏情况下，这些算法的时间复杂度仍然是指数级的。
在图同构问题的研究中，一些指标被广泛应用，例如度数序列、连通性、子图等。目前有许多基于这些指标的判定算法。
4.图同构判定算法
4.1邻接矩阵
邻接矩阵是一个V×V的矩阵，其中每个元素a[i,j]表示从节点i到节点j的边的数量。对于一个度数序列相同的图G和H，它们的邻接矩阵的元素也应该相同。
在比较两个图G和H的邻接矩阵时，我们可以将它们作为二进制字符串来比较。我们可以将邻接矩阵中的元素视为一个bit，然后按行将矩阵拼接成一个二进制字符串。最后，我们可以使用字符串匹配算法来比较这两个字符串是否相等。
虽然邻接矩阵算法很简单，但它的缺点是它需要大量的空间来存储邻接矩阵，特别是当图的节点数量很大时，算法的复杂度会呈现指数级别的增长。
4.2度数序列
对于一个度数序列相同的图G和H，它们的度数序列的所有排列方式都是相同的。因此，我们可以通过比较它们的度数序列来判断它们是否同构。
为了比较两个图G和H的度数序列，我们可以使用以下步骤：
1.对于每个节点i，计算它的度数di。
2.对于度数相同的节点，计算它们的度数出现次数Pi。
3.对于每个可能的Pi，在G和H中找到Pi个具有相同度数的节点，进行匹配。
4.如果找到一组可行的匹配，则认为图G和H是同构的；否则，它们不同构。
度数序列算法的优点是它只依赖于度数，而不是具体的图结构。因此，它可以使用比邻接矩阵小得多的空间。它的缺点是在度数序列中，可能会存在多个匹配方案，因此需要进行多次匹配以找到可行的匹配方案。
4.3子图同构
子图同构算法通过比较两个图和它们的子图来判断它们是否同构。子图同构算法的优点是它可以在具有一定结构的图上快速判断它们是否同构。它的缺点是如果图的节点数过于庞大，它的时间复杂度会变得非常高。
4.4Weisfeiler-Lehman算法
Weisfeiler-Lehman算法是一个相对较新的算法，用于解决图同构问题。它基于一个技术称为“图的同构性谱”。在这个算法中，我们需要计算每个节点的标签，并对其进行排序。节点标签的排序方式可以表示为一个字符串。最后，我们可以比较这两个字符串以确定图G和H是否同构。
Weisfeiler-Lehman算法的优点是它可以在具有非常大的节点和边数的图上进行快速计算，因为它需要计算节点的标签而不是计算矩阵或度数序列。但是，它的缺点是它不能处理那些嵌套很深的子图，因为它无法在限定的时间内计算所有节点的标签。
5.结论
在本文中，我们介绍了图同构问题的定义和相关概念，然后讨论了现有的图同构判定算法，包括邻接矩阵算法、度数序列算法、子图同构和Weisfeiler-Lehman算法。比较这些算法的优缺点，我们可以得到一个简单的结