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基于局部稀疏表示和线性鉴别分析的典型相关分析
摘要：
在本文中，我们提出了一种基于局部稀疏表示（LocalitySparseRepresentation）和线性鉴别分析（LinearDiscriminantAnalysis）的典型相关分析（CanonicalCorrelationAnalysis）方法。该方法采用了局部稀疏表示来提取数据的特征，通过线性鉴别分析来减小数据的维度，最终应用典型相关分析找到两个数据集之间的最大相关性。我们在实验中使用了三个数据集（ORL、YaleB和COIL-20），结果表明，我们提出的方法比传统的方法具有更好的表现。
关键词：局部稀疏表示，线性鉴别分析，典型相关分析，特征提取，数据降维
引言：
典型相关分析（CanonicalCorrelationAnalysis，CCA）是一种常用的多变量统计方法，可以用来找到两个数据集之间的最大相关性。在计算机视觉和模式识别领域中，CCA被广泛应用于特征提取和数据降维。传统的CCA方法主要基于样本协方差矩阵，但该方法有一个很大的缺点，即当样本维度很高时，计算协方差矩阵是非常困难的。为了解决这个问题，许多研究人员提出了各种改进的CCA方法，如核典型相关分析（KernelCCA）、非线性典型相关分析（NonlinearCCA）等。
与传统的CCA方法不同，本文提出的方法结合了局部稀疏表示和线性鉴别分析。局部稀疏表示是一种局部特征提取方法，可以在图像分类、识别和分类等领域中取得很好的效果。线性鉴别分析是一种常用的数据降维技术，可以保留数据集中的主要信息，提高分类和识别的准确率。我们将局部稀疏表示和线性鉴别分析相结合后，再应用CCA方法，以实现更好的特征提取和数据降维效果。
方法：
1.局部稀疏表示
局部稀疏表示是一种以字典为基础的特征提取方法。给定一个数据集X={x1,x2,……,xn}，其中每个向量xi∈Rd，我们可以将每个xi表示为以下的线性组合：
xi=Dαi+Ei
其中，D={d1,d2,……,dk}是一个字典，每个字典元素dj∈Rd，αi∈Rk是一个系数向量，Ei∈Rd是一个噪声项。我们的目标是找到最小的||αi||0（L0范数表示向量中非零元素的数量），使得||xi-Dαi||2≤√Δ，Δ是预先定义的误差。
由于L0范数是一个NP-hard问题，我们可以使用L1范数和L2范数来近似解决它。通常情况下，我们使用L1范数来替代L0范数，将优化问题转化为以下形式：
min||αi||1，s.t.||xi-Dαi||2≤√Δ
我们可以使用交替方向乘子法（AlternatingDirectionMethodofMultipliers，ADMM）来解决该优化问题。具体来说，我们可以将优化问题转换为一个带有L1和L2正则项的约束优化问题，并使用ADMM方法来求解。
2.线性鉴别分析
线性鉴别分析是一种数据降维技术，可以将高维数据投影到低维空间中，同时保留原始数据中的主要信息。给定一个训练集X={x1,x2,……,xn}，其中xi∈Rd，我们可以通过寻找一个投影方向w∈Rd，以最大化数据集的类间距离，最小化数据集的类内距离，来实现数据降维。具体来说，我们可以定义类间距离矩阵Sb和类内距离矩阵Sw：
Sb=∑ni=1ni(μi−μ)(μi−μ)T
Sw=∑ni=1∑xj∈Ci(xj−μi)(xj−μi)T
其中，Ci是第i类的所有样本组成的集合，μi是第i类样本的均值向量，μ是所有样本的均值向量。
在求解过程中，我们需要寻找一个方向w，最大化wTSbw，同时最小化wTSww。由于wTSww为奇异矩阵，我们可以加入一个正则化参数λ，定义目标函数为：
J(w)=(wTSbww)+λ(wTSww)
然后使用矩阵求导来寻找w的闭合形式解。最终，我们可以将数据集投影到w上，得到降维后的数据集。
3.典型相关分析
典型相关分析是一种寻找两个数据集X={x1,x2,……,xn}和Y={y1,y2,……,yn}之间的最大相关性的方法。我们假设数据集X和Y之间的相关性可以表示为两个线性映射的内积：
corr(x,y)=<wx,wy>
其中，wx∈Rd和wy∈Rd是X和Y的投影向量，我们希望找到最大化上式的wx和wy。
我们可以将上式转换为以下的目标函数：
max<XTX−1XTY,YY−1YTX>
其中，XT和YT分别是X和Y的中心化矩阵，X−1和Y−1是它们的协方差矩阵的逆，XX和YY是它们的协方差矩阵。最终，我们可以通过计算SVD分解来实现CCA算法。
实验：
我们在三个数据集上评估了我们提出的方法的性能，分别是ORL人脸数据库、YaleB人脸数据库和COIL-20物体数据库。我们使用局部稀疏表示和线性鉴别分析提取特征，并使用CCA进行数据降维和特征匹配。
在ORL数据库上，我们将每个