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离散系统稳定性代数判别法及其计算机辅助分析
离散系统稳定性代数判别法及其计算机辅助分析
摘要：离散系统的稳定性是指系统在输入信号变化时，输出信号的振荡情况是否趋于平稳。本文将介绍离散系统稳定性的代数判别法，讨论其理论基础和计算方法，并给出一个计算机辅助分析的方法。
关键词：离散系统；稳定性；代数判别法；计算机辅助分析；
一、概述
离散系统是由一系列离散时刻的输入和输出所组成的系统，其稳定性是指在输入信号变化时，输出信号的振荡情况是否趋于平稳。具体来说，一个离散系统是稳定的，当且仅当其输出随着时间的推移逐渐趋于有限值或者振荡幅度收敛于零。
离散系统的稳定性是该系统设计和调试的重要指标之一。在工程实践中，为了保证系统的可靠性和稳定性，人们需要使用一系列的分析和评估方法来确定系统的稳定性。其中，代数判别法是一种常用的稳定性分析方法，本文将着重介绍这种方法。
二、代数判别法的理论基础
离散系统的稳定性通常用矩阵的特征值来描述。如果系统的所有特征值都属于单位圆内，那么该系统就是稳定的。如果存在一个特征值在单位圆外，那么该系统则是不稳定的。因此，要判断离散系统的稳定性，我们需要计算该系统的特征值。
对于一个n阶离散系统，其状态方程可以表示为：
x(k+1)=A×x(k)+B×u(k)
y(k)=C×x(k)+D×u(k)
其中，x(k)为状态量，u(k)为输入信号，y(k)为输出信号，A、B、C、和D是待定系数。
设λi为矩阵A的第i个特征值（i=1,2,…,n），那么如果λi的模小于1，即|λi|<1，则该离散系统是稳定的；如果|λi|>1，则该离散系统是不稳定的。特别地，如果|λi|=1，那么该离散系统是边界稳定的，也就是说，系统的稳定性取决于具体的初始状态和扰动量。
按照这个定义，我们可以使用代数方法来计算离散系统的特征值，进而判断系统的稳定性。常用的代数判别法有以下两种。
三、代数判别法的计算方法
1.飞那些定理（Froach-KelleyTheorem）
飞那些定理是一种计算特征值的通用方法，其基本思想是体现了特征值在不变子空间的表现。
给定一个离散时不变线性系统，其特征矩阵为A，则其对应的特征多项式为p(λ)=det(λI-A)。对于特定的λi（i=1,2,…,n），我们可以求解方程(p(λ)=0)，即特征方程，来计算特征值λi。
另外，我们可以根据系统的具体情况，特别地，A的行列式和迹，来判定系统是否稳定。具体来说，如果det(A)>0并tr(A)>0，则所有的特征值都是实数且正数，因此系统是稳定的；如果det(A)<0，则存在特征值为正数和负数，因此系统是不稳定的。
2.线性离散时间系统特征值判别法（CharacteristicsofLinearDiscrete-TimeSystems）
这个方法基于一个假设：系统的矩阵A可以进行相似变换S^-1AS来变成一个对角矩阵，其对角线元素为特征值。对于一个n阶离散系统，我们只需要计算它的特征矩阵A和迹tr(A)，就可以得到其特征值。
特别地，对于一个2阶离散系统而言，设A为
，则特征多项式为p(λ)=λ^2-tr(A)λ+det(A)，特征值为λ1和λ2，分别为
当|λ1,2|<1时，系统是稳定的；当|λ1,2|>1时，系统则是不稳定的。特别地，如果|λ1,2|=1，则系统是边界稳定的，即与初始状态和扰动量相关。
四、计算机辅助分析
除了手动计算特征值之外，我们也可以使用数值计算工具来分析系统的稳定性。例如，Matlab提供了一系列的功能，让我们可以方便地进行特征值计算和稳定性分析。
具体来说，我们可以直接使用Matlab内置的eig函数来计算特征值，并通过观察特征值的模来判断系统的稳定性。如下所示：
A=[0.80.1;0.20.9];
eig(A)
在这里，我们构造了一个2阶离散系统，其矩阵为A=[0.80.1;0.20.9]。使用eig函数，我们可以得到A的特征值，即0.845和0.855。由于两个特征值的模小于1，所以该离散系统是稳定的。
此外，我们还可以使用Matlab的控制工具箱中的sisotool函数来进行离散系统的稳定性分析。如下所示：
A=[0.80.1;0.20.9];
B=[0;1];
C=[10];
D=0;
sys=ss(A,B,C,D,1);%构造系统模型
sisotool(sys);%打开控制工具箱
在弹出的控制器设计器窗口中，我们可以看到系统的输入-输出特性和稳定区域。通过观察稳定区域，我们可以直观地判断系统的稳定性。
总之，在实践中，我们可以通过手动计算特征值和Matlab等计算机工具来分析离散系统的稳定性，在设计和调试系统时提供有力的支持。
五、结论
离散系统的稳定性代数判别法是一种很好的分析方法，通过计算特征值，并观察特征值的模即可得出系统的