用复数方法求合振幅——解决干涉和衍射图样的光强分布.docx

用复数方法求合振幅——解决干涉和衍射图样的光强分布
在光学中，干涉和衍射是基础概念，它们的现象和理论不仅给人们带来了视觉上的美妙，更是实现光学仪器尤其是光学成像领域的关键。其中，合振幅的概念是我们讨论干涉和衍射现象时不可或缺的重要理论。
合振幅的概念
合振幅是描述光波的重要参数，它存在于所有光的干涉和衍射现象中。简单地说，合振幅指在某个特定点上所有光波的振幅加合后得到的结果。在干涉和衍射中，不同光波间的相长干涉和相消干涉以及衍射的转移都与合振幅密切相关。
以双缝干涉为例，如图1所示，两个相距较远的狭缝S1和S2，被单色光垂直照射，其走过路径差δ为：
δ=dsinθ
式中d为两缝间距，θ为入射光线与缝线夹角。
图1双缝干涉
将光线从双缝发出的相位差为Φ，那么在屏幕P点处，两个经过不同路径的光线绕过程差为：
Δ=δ/λ*2π=dsinθ/λ*2π
式中λ为光的波长。当Δ等于2πn(n为整数)时，两个光线相长干涉，首尾相接形成明条纹；当Δ等于(2n+1)π时，两个光线相消干涉，互相抵消，形成暗条纹。
此时可以用合振幅进行描述。考虑入射光线下来的波面对于缝S1和S2的位移情况，如图2所示。
图2光波在S1和S2处的振幅
将光波分解为一维波形表示，设波前的振幅为A，波数为k，振动方向为x轴，那么在缝S1和S2处入射的波前可以表示为：
A1sin(kx)
A2sin(kx+Φ)
分别表示振幅和相位，其中Φ为光波从S1到S2的相位差。在P点，S1和S2发射的两束光线再次相遇，此时每个波前上的振幅二者相加，得到合振幅:
A'=A1sin(kx)+A2sin(kx+Φ)
将其转换为三角函数形式，得到：
A'=2Acos(Φ/2)sin(kx+Φ/2)
此时，合振幅的大小2Acos(Φ/2)表示了干涉现象的强度，而相位Φ则表明了相对位移的大小和方向。
衍射的合振幅
对于衍射现象，同样可以用合振幅来描述。考虑一扇形孔在单色光垂直入射下的衍射情况，如图3所示。
图3衍射情况
此时，圆心O处的光源可以看作是由各个方向上的微光点发出的相干光波源。我们可以将这个衍射光看做是由一系列平行于OA方向的光线构成的波阵面，如图4所示。
图4波阵面
在位置P处观察这些波阵面，可以得到一个合成的光波，其振幅和相位状态都由不同波前合并而成，如图5所示。
图5合成光波
设S为圆弧上一点，O为中心，θ为SOP与x轴的夹角，r表示SO的长度。图5中的合成光波可以表示为：
Acos(2πr/λ+Φ)
式中Φ表示O到SP的距离，根据几何关系可知：
Φ=rsinθ
此时，合振幅的大小Acos(2πr/λ+Φ)反映了在P点的光强大小，而相位2πr/λ+Φ则决定了光波的相对移动状态。
复数方法与干涉衍射问题求解
通过上述的分析我们可以知道，在干涉和衍射问题中，合振幅是一个非常重要的参数，它可以用来描述不同光线间的相对相位和振幅大小。而在实际问题求解中，可以通过复数方法来完成这一过程。
设光波可以用复数表示为：
E=Aexp[i(kx-ωt+φ)]
式中A、k、ω、Φ分别表示振幅、波数、角频率、相位，其中i为虚数单位，x和t则表示时间和空间变量。此时我们可以用复数进行代数化运算，完成干涉和衍射问题的求解。
以双缝干涉为例，我们可以将两个光波写成复数形式：
E1(x)=Ae[i(kx-ωt+ϕ1)]
E2(x)=Ae[i(kx-ωt+ϕ2)]
在屏幕P点处它们的合振幅为：
E(x)=E1(x)+E2(x)=2Ae[i(kx-ωt+β/2)]cos(β/2)
式中，β=ϕ2-ϕ1表示光波的相位差。合振幅的模长是2Acos(β/2)，表示光强大小，其相位是kx-ωt+β/2，表示光波的移动距离和方向。
对于任意的干涉和衍射问题，都可以通过复数方法来进行求解，常用的方法包括叠加法和菲涅尔-柯西原理等。
总结
干涉和衍射是光学中非常重要的现象，它们不仅具有科学研究的意义，更是光学仪器和成像技术的核心理论。合振幅作为描述光波的重要参数，在干涉和衍射问题的求解中发挥了重要的作用。采用复数方法可以方便地完成这一过程，同时使问题求解更加简洁和优雅。掌握合振幅和复数方法对于理解光学问题、设计光学器件及成像系统都有着重要的意义。