一簇Lorenz映射的混沌行为的符号动力学分析.docx

一簇Lorenz映射的混沌行为的符号动力学分析
引言
混沌现象在自然界和工程应用中都有着广泛的应用和研究价值。Lorenz映射是混沌理论的经典模型之一，它的混沌现象吸引了大量的研究者，许多学者从不同的角度对Lorenz映射进行了深入的研究。本文将从符号动力学的角度分析Lorenz映射的混沌行为。
论文正文
Lorenz映射是由美国物理学家EdwardN.Lorenz于1963年提出的，它是一种离散时间的动力学系统，可以描述一个简单的气象模型。Lorenz映射的主要特征是混沌现象，其在许多领域中都有着广泛的应用，例如天气预报、流体力学、生物医学等领域。
Lorenz映射的数学表达式为：
x_(n+1)=x_n+σ(y_n-x_n)
y_(n+1)=x_n(ρ-z_n)-y_n
z_(n+1)=x_ny_n-βz_n
其中，x、y、z是三个状态变量，σ、ρ、β是映射的三个参数，n表示离散时间。Lorenz映射的符号动力学可分为三个阶段。
第一阶段：
当初始状态的参数ρ小于特定值ρ1时，系统运动轨迹在相空间上存在稳定的奇异吸引子，此时系统的状态变量x、y、z都保持固定值，不发生任何变化。
第二阶段：
当参数ρ的值大于ρ1，但仍小于另一个特定值ρ2时，系统的轨迹发生了定期运动。在此情况下，系统的状态变量x、y、z周期性地变化，轨迹呈现出规律的圆、椭圆、环等形态。
第三阶段：
当参数ρ的值大于ρ2时，系统的轨迹变得无规律，呈现出混沌现象。在此情况下，系统状态变量x、y、z的值随时间变化呈现出复杂的涨落性质，轨迹在相空间中演化异常复杂，呈现出分支、较长的时间序列等混沌特征。
Lorenz映射的混沌行为可以通过符号动力学的方法来研究。符号动力学是混沌理论中的一个重要研究分支，它将混沌系统的状态变量离散化为符号序列，通过对符号序列的分析，揭示混沌系统的动力学特性，为混沌系统的控制和应用提供了理论基础。
对于Lorenz映射来说，它的状态变量x、y、z的涨落性质是混沌的主要特征。因此，我们需要将Lorenz映射的状态变量离散化为符号序列，以获得混沌系统的符号动力学特性。在此过程中，需要进行参数选择、时间序列离散化、符号化等步骤。
具体做法是，对Lorenz系统的状态变量进行离散化，将其分为若干区间，并将每个区间标记为一个符号。然后，根据状态变量值的大小来确定所处的区间以及对应的符号，构成一个符号序列。在此基础上，通过计算符号序列的信息熵、自相关函数等指标，来描述Lorenz映射的混沌属性。
例如，对于Lorenz映射的状态变量z(t)进行符号化，可以将z(t)离散化为m个区间，每个区间按照大小分别标记为“0”、“1”、“2”……“m-1”对应的符号。假设Lorenz映射的状态变量z(t)的值域为[0,1]，则可以将其分为m=10个区间，区间宽度为0.1。这样，可以得到一个长度为N的符号序列S={S1,S2,…,SN}，其中Si表示z(t)所处的区间对应的符号。
在得到符号序列后，可以计算出Lorenz映射的信息熵，其表示该混沌系统的复杂性和不确定性。同时，还可以计算出符号序列的自相关函数、分数维数等指标，来描述系统的混沌特性。
结论
通过符号动力学的分析，可以发现Lorenz映射在参数ρ>ρ2时表现出混沌特性，其状态变量的涨落性质呈现出复杂的非线性、非周期性的运动轨迹，轨迹在相空间中呈现出分形的结构。此外，Lorenz映射的符号动力学也表现出信息熵的增加、自相关函数随时间间隔的增加而降低等典型的混沌特征。
总之，Lorenz映射是混沌理论中的重要模型之一，通过符号动力学的分析可以更好地理解系统的动力学特性。深入探究Lorenz映射的混沌行为，对于混沌系统的研究和应用都有着重要的意义。