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基于MLPG法的新型无网格法——多边形无网格法
随着计算机模拟技术的快速发展，仿真计算已经广泛应用于许多工程和科学领域。在仿真计算中，无网格法作为传统有限元法的有效补充已得到广泛应用。而在无网格法中，多边形无网格法作为一种新型无网格法，因其在边界处理、网格划分和直接算子表示等方面的优势，引起越来越多研究者的关注。
多边形无网格法（PUM）是一种基于MLPG法的新型无网格法，其最主要的优势在于不需要实际的网格划分就能够处理各种几何体，例如圆形、矩形和不规则多边形等。与其他无网格方法相比，多边形无网格法的计算效率更高，同时也能够在边界处得到很好的解析精度。这是因为多边形无网格法能够通过差分算子来精确地表达算子。
多边形无网格法最初由Liu等人在2007年提出，并逐步完善。它基于MLPG法，即基于最小残差投影法（MLPG）的局部无网格法。MLPG法的最小残差投影思想是将法向导数（或力）投影（即多项式拟合）在局部光滑基函数上，然后扩展到整个计算区域。多边形无网格法则将目标区域划分为若干个不规则的多边形，从而获得更好的边界逼近和计算效率。
多边形无网格法的核心思想是将问题定义在多边形上，然后分解为一个连续的局部问题，最后在所有多边形上组合。这里的“多边形”可以是任意多边形，不一定是三角形，这也是多边形无网格法如此灵活的原因之一。在求解时，首先需要构造一个多项式插值函数，以逼近求解目标。多边形无网格法的运算需要用到点形函数（PointShapeFunction），这是一种对基函数的扩展，其主要作用是将基函数从节点（Node）扩展到多边形内部。
多边形无网格法在求解时需要解决两个主要的问题：一是如何将问题分解为局部问题；二是如何在不规则多边形上求解。
针对第一个问题，多边形无网格法采用了类似于MLPG法的思想，将问题分解为一个连续的局部问题，然后在组合时考虑边界条件的一致性和连续性。而针对第二个问题，多边形无网格法主要采用了基于有限元法的思想，在体积积分和边积分计算时，将多边形分割成三角形或四边形，然后采用正交基点、高斯求积等方法对其进行数值计算。
实际上，多边形无网格法的实现需要一系列的技术。其中包括自适应积分、平面多边形划分、局部多项式插值函数的构造等。同时，在多边形无网格法的实现过程中，也需要对其数值稳定性和计算效率进行优化。
总之，多边形无网格法作为一种新型无网格法，具有很多优势。它具有灵活性、高效性和精确性等特点，能够应用于许多领域，例如流体力学、固体力学、热传递等领域。但同时也需要注意，在实际应用中，多边形无网格法的数值稳定性和计算效率仍需要进一步研究与改进。