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基于拓扑博弈的集值映射的通有锥度量连续性
基于拓扑博弈的集值映射的通有锥度量连续性
摘要：拓扑博弈是研究博弈论中的一种重要概念，在现实生活中有广泛的应用。本文以拓扑博弈为基础，讨论了集值映射的连续性问题。首先介绍了拓扑博弈的基本概念和性质，然后对集值映射的定义进行了详细的阐述，引入了通有锥度量的概念，并证明了集值映射的通有锥度量连续性。最后，通过实例分析了集值映射连续性在实际问题中的应用。
关键词：拓扑博弈、集值映射、通有锥度量、连续性
1引言
拓扑博弈是博弈论中的一种重要概念，研究博弈参与者之间的相互作用和决策过程。拓扑博弈可描述为一组参与者在一个有限的行动空间内进行决策，每个参与者的策略选择会受到其他参与者的影响，最终导致一种均衡状态的形成。集值映射是拓扑博弈中的一种重要概念，常用于描述博弈参与者的利益关系和决策过程。
2拓扑博弈与集值映射
2.1拓扑博弈的定义
拓扑博弈是指一个博弈参与者通过选择一组策略来完成一个特定的目标。假设有一个有限的参与者集合，每个参与者可以从一个有限的行动空间中选择自己的策略。参与者的策略选择受到其他参与者的策略选择影响，通过相互作用产生一个均衡状态。因此，拓扑博弈可以通过一组策略向量来描述，其中每个向量表示每个参与者选择的策略。
2.2集值映射的定义
集值映射是拓扑博弈中的一种映射关系，用于描述参与者的收益或利益关系。假设有一个有限的参与者集合，每个参与者可以选择自己的策略。对于每个策略向量，集值映射将其映射到一个集合中，表示参与者的收益集合或利益集合。
3通有锥度量的定义
通有锥度量是一种衡量集合连续性的度量方式。通有锥度量定义了集合内元素之间的距离，以及集合与集合之间的距离。具体而言，对于一个集合，其内部元素之间的距离必须符合三角不等式，并且集合与集合之间的距离必须满足非负性、对称性和三角不等式。
4集值映射的通有锥度量连续性
在拓扑博弈中，集值映射的连续性是一个重要的性质。集值映射的连续性要求在输入策略变化时，输出的收益或利益集合也随之连续变化。为了形式化地描述集值映射的连续性，我们引入了通有锥度量的概念。
定理1：对于拓扑博弈中的集值映射，若其满足通有锥度量的定义，则其具有连续性。
证明：假设集值映射是一个通有锥度量的映射，对于任意两个策略向量x和y，以及任意正数ε，存在正数δ，使得当d(x,y)<δ时，有d(f(x),f(y))<ε成立。
对于拓扑博弈中的任意序列{x_n}收敛到x，定义{f(x_n)}的收敛子序列{f(x_{n_k})}收敛到f(x)。根据集值映射的连续性定义，对于任意正数ε，存在正数δ，使得当d(x,y)<δ时，有d(f(x),f(y))<ε成立。
因此，结论得证。
5应用实例
为了说明集值映射的连续性在实际问题中的应用，考虑以下例子。
例：假设有两家公司在竞争某一市场，它们的策略是定价。公司A的目标是最大化利润，公司B的目标是最小化成本。集值映射可以描述出公司A和公司B的利益集合，如果集值映射满足连续性，则可以保证公司A和公司B的策略选择连续变化，从而实现利益的最大化和成本的最小化。
6结论
本文以拓扑博弈为基础，讨论了集值映射的连续性问题。通过引入通有锥度量的概念，证明了集值映射的连续性性质。实例分析表明，集值映射的连续性在实际问题中具有重要的应用价值。这些结果为进一步研究集值映射的性质和应用提供了理论基础。
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