word完整版关于费马点知识总结.doc

费马点
一、研究目的
费马点是17世纪法国著名的数学家费马发现的。所指的是在三角形所在的平面上，有一个点到三角形三个顶点距离之和最小。而费马点有许多有意义的性质，即为此，本人以费马点的性质为因来进行一系列的调查与研究。
二、研究结果
（一）费马点的发现者
费马点的发现者是费马［Fermat,Pierrede,1601-1665］，17世纪的法国数学家。1601年8月17日在法国南部图卢兹附近波蒙--德洛马涅出生。早年于家乡受教育，后入图卢兹大学供读法律，毕业后任职律师。自1631年起任图卢兹议会议员。任职期间，他利用工余时间钻研数学，并经常以书信与笛卡儿、梅森、惠更斯等著名学者交往，讨论数学问题。他饱览群书，精通数国文字，掌握多门自然科学的知识。虽年近三十才认真注意数学，但成就累累。最后于1665年1月12日在卡斯特尔逝世。
他生前由于性情淡泊，为人谦逊，因此较少发表论着，大多成果只留在手稿、通信或书页之空白处。他的儿子于1679年把这些遗作整理汇集成书［共两卷］，在图卢兹出版。
由于他在数论、解析几何、概率论等方面贡献良多，被后世誉为「业余数学家之王」。
（二）费马点的求法
△ABC需是三个内角皆小于120°三角形，分别以AB、BC、CA为边，向三角形外侧做正三角形△ABD、△ACE，然后连接DC、BE，则二线交于一点，记作点P，则点P就是所求的费马点。
（三）费马点的验证
1.△ABC是等边三角形，以边AB、AC分别向△ABC外
侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P，点P为
费马点。则可得出结论：
①AP=BP=CP；②∠APB=∠BPC=∠APC=120°；③点P
是内心，是在三角形三个内角的角平分线的交点；④
点P是垂心，是△ABC各边的高线的交点；⑤△ABP、
△ACP、△BCP全等。⑥点P是△ABC各边的中线的交
点；⑦△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点
P为费马点时和最小。
2.△ABC是等腰三角形，以边AB、AC分别向△ABC外
侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P，点P为
费马点。则可得出结论：
①△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P为
费马点时和最小；②∠APB=∠BPC=∠APC=120°；③
△ABP与△ACP全等；④△BCP为等腰三角形。
3.△ABC是直角三角形，以边AB、AC分别向△ABC外
侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P，点P为
费马点。则可得出结论：
①△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P为
费马点时和最小；②∠APB=∠BPC=∠APC=120°
（四）费马点的性质
1.费马点到三角形三个顶点距离之和最小
2.费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°
3.费马点为三角形中能量最低点。（调查得知）
4..三力平衡时三力夹角皆为120°，所以费马点是三力平衡的点。（调查得知）
（五）费马点的应用
在实际生活中，若三角形的三个顶点分别是在三个地方，而要求是在“三角形”内建一处车站等，且要是车站到三个地方的公路路程和最短，可利用费马点的性质①：费马点到三角形三个顶点距离之和最小。则这车站应建在费马点上。
三、结论
由此次研究可让我们知道，若想要在某方面做出伟大成就必先努力、锲而不舍的钻研，就如胡适所言：“做学问要再不疑处有疑……”。并且，将成就运用于生活，服务生活，方便生活，才是他们的价值所在！
二、找费马点
在平面上一三角形，试找出内部一点，使得为最小。首先，让我们先找到点的性质，再来研究怎么做出点。
点有什么性质呢？它的位置是否有什么特殊意义呢？在中学里，我们学过三角形的内心、外心、重心以及垂心，点和这些心之间有关联吗？还是和有些线段长、角度大小有关系呢？

、和很接近，这三个角度有何关联？
【解法1】

eq\o\ac(○,1)如右图，以点为中心，将旋转到
因为旋转，且，所以为一个正三角形
因此，
由此可知当、、、四点共线时，为最小
eq\o\ac(○,2)若共线时，则

同理，若共线时，则
所以点为满足的点
。
但是，该用什么方法找出点呢？

以三边为边，分别向外作正三角形、、
连接、、
、、三线共点，设交点为，即为所求
【证明1】
(在解法1曾提到若，即四点共线时，有最小值，所以要在上。)

则，得
在上取点，使得为正三角形
则，得
所以
【证明2】

，又四点共圆()
所以
故，因此在上
同理可证在、上，
故为、、三线交点
三、画出费马点
经过上面的讨论，可以知道，在平面上，想找出一点，使为最小，方法为：分别以、为边长做出正三角形及，连接、，两线交于一点，点即为费马点。
使用上述方法需要注意到一点，的每一个内角均小于，如果其中有一内角大于，那么点就是最大内角的顶点。