数学归纳法及其应用举例(教案).doc

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【课题】数学归纳法及其应用举例
【教学目标】
使学生了解归纳法,理解数学归纳的原理与实质．
掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题．
培养学生观察,分析,论证的能力,进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程,体会类比的数学思想．
努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率．
通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明),激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神．
【教学重点】归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析
【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解
【教学方法】类比启发探究式教学方法
【教学手段】多媒体辅助课堂教学
【教学程序】第一阶段：输入阶段——创造学习情境，提供学习内容
创设问题情境，启动学生思维
(1)不完全归纳法引例：
明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字．这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的．
(2)完全归纳法对比引例：
有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些．他给每人一筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案．大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生．显然，二徒弟先给出答案，他比大徒弟聪明．
在生活和生产实际中，归纳法也有广泛应用．例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，用的就是归纳法．这些归纳法却不能用完全归纳法．
回顾数学旧知，追溯归纳意识
（从生活走向数学，与学生一起回顾以前学过的数学知识，进一步体会归纳意识，同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳．）
(1)不完全归纳法实例：给出等差数列前四项,写出该数列的通项公式．
(2)完全归纳法实例：证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况．
借助数学史料,促使学生思辨
（在生活引例与学过的数学知识的基础上，再引导学生看数学史料，能够让学生多方位多角度体会归纳法，感受使用归纳法的普遍性．同时引导学生进行思辨：在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论，不管是我们还是数学大家都可能如此．那么，有没有更好的归纳法呢？）
问题1已知＝（n∈N），
(1)分别求；；；．
(2)由此你能得到一个什么结论？这个结论正确吗？
（培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力．概括能力是思维能力的核心．鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的．心理学认为“迁移就是概括”，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，我找的突破口就是学生的概括过程．）
问题2费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当n∈N时，一定都是质数，这是他对n＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了＝4294967297＝6700417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n＝5这一结论便不成立．
问题3,当n∈N时，是否都为质数？
验证：f（0）＝41，f（1）＝43，f（2）＝47，f（3）＝53，f（4）＝61，f（5）＝71，f（6）＝83，f（7）＝97，f（8）＝113，f（9）＝131，f（10）＝151，…，f（39）＝1601．但是f（40）＝1681＝，是合数．
第二阶段：新旧知识相互作用阶段——新旧知识作用，搭建新知结构
搜索生活实例，激发学习兴趣
（在第一阶段的基础上，由生活实例出发，与学生一起解析归纳原理,揭示递推过程．孔子说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者．”兴趣这种个性心理倾向一般总是伴随着良好的情感体验．）
实例：播放多米诺骨牌录像
关键：(1)第一张牌被推倒；(2)假如某一张牌倒下,则它的后一张牌必定倒下．于是,我们可以下结论：多米诺骨牌会全部倒下．
搜索：再举几则生活事例：推倒自行车,早操排队对齐等．
类比数学问题,激起思维浪花
类比多米诺骨牌过程,证明等差数列通项公式：
(1)当n＝1时等式成立；(2)假设当n＝k时等式成立,即,则=,即n＝k＋1时等式也成立．于是,我们可以下结论：等差数列的通项公式对任何n∈都成立．
（布鲁纳的发现学习理论认为，“有指导的发现学习”强调知识发生发展过程．这里通过类比多米诺骨牌过程，让学生发现数学归