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(完整word)应用同余解题
(完整word)应用同余解题

(完整word)应用同余解题

应用同余解题
在五年级我们已初步学习了同余的有关知识．同余在解答竞赛题中有着广泛的应用．在这一讲中，我们将深入理解同余的概念和性质,悟出它的一些运用技巧和方法．
例1a除以5余1，b除以5余4，如果3a＞b，那么3a－b除以5余几？
分析与余数有关的问题考虑用同余式可以使解题简便．
解：∵a≡1（mod5),
∴3a≡3（mod5），
或者3a≡8（mod5)．（1)
又∵b≡4（mod5），(2)
∴（1)－（2）得:
3a－b≡8－4≡4（mod5）．
因此，3a－b除以5余4．
例2若a为自然数，证明10│（a1985－a1949）．
分析如果换一种方式表达，所要证明的即是要证a1985与a1949个位数字相同．用对于模10两数同余来解，可以使解题过程简化．
证明：∵a1985＝a4×496＋1≡a（mod10),
a1949＝a4×497＋1≡a（mod10),
∴a1985－a1949≡a－a≡0(mod10）．
即10│（a1985－a1949)．
说明:这里用到一个事实：对于任何自然数a，a5与a的个位数字相同．

由能被8、9整除的特征，得

由(2)得y≡2(mod8)
因0≤y〈9且y是整数
∴y＝2．
把y＝2代入（1)得
x＋6＋7＋9＋2≡0（mod9）
∴x≡3（mod9）．
由x是一位整数得:x＝3．
∴所求五位数是36792．

分析①设n÷9＝商…r，那么9│（n－r）,根据n－r＝商×9，以及n－r的个位数字，可推算出商的个位数字．
②抓住“一个整数与它的各位数字之和对于模9同余”这性质，可以很快的化大数为小数．
≡1919×20≡2×2≡4（mod9)，
∴9│（n－4)，即n－4＝9×商，
又∵n－4的个位数字是5，
∴n被9除所得的商的个位数字是5．
例5设2n＋1是质数,证明：12,22，…，n2被2n＋1除所得的余数各不相同．
分析这道题肯定不可能通过各数被2n＋1除去求余数．那么我们可以考虑从反面入手，假设存在两个相同的余数的话，就会发生矛盾．而中间的推导是步步有根据的，所以发生矛盾的原因是假设不合理．从而说明假设不成立，因此原来的结论是正确的．
证明：假设有两个数a、b，（a≠b，设b〈a，且1≤a≤n，1≤b≤n），它们的平方a2，b2被2n＋1除余数相同．
那么，由同余定义得a2－b2≡0（mod(2n＋1））．
即（a＋b)（a－b）≡0（mod（2n＋1)）,由于2n＋1是质数．
∴a＋b≡0（mod（2n＋1)）或a－b≡0（mod（2n＋1））．
由于a＋b，a－b均小于2n＋1且大于零，
可知，a＋b与2n＋1互质,a－b也与2n＋1互质．
即a＋b与a－b都不能被2n＋1整除．
产生矛盾，∴原题得证．
说明：这里用到一个重要的事实：如果A·B≡0（modp），p是质数,那么A或B中至少有一个模p为零．p是质数这一条件不能少，否则不能成

问:a除以13所得余数是几？
解：用试除方法可知：13│191919．
∵1919×2＝3838，而3│3837，

即1919个“1919”有3838个“19”，三组三组取走“19”后还剩下一组．
∴a≡19（mod13)．
∴a≡6(mod13）．
即a除以13余数是6．
例7求被3除余2，被5除余3，被7除余5的最小三位数．
解：设x为所求数,
由题意

（3）即x＝7k＋5(k是整数）．代入（2）得
7k＋5≡3（mod5)，
∴2k≡3（mod5),
2k≡8(mod5）．
∴k≡4（mod5），即k＝5m＋4（m是整数）．
∴x＝7k＋5＝7（5m＋4)＋5＝35m＋33,
上式代入（1）得:
35m＋33≡2（mod3），
2m≡2（mod3），
∴m≡1（mod3)，即m＝3t＋1（t是整数）．
∴x＝35m＋33＝35（3t＋1)＋33＝105t＋68，
当t＝1时，x＝173．
∴所求的最小三位数为173．
例8给出12个彼此不同的两位数，证明：由它们中一定可以选出两个数，它们的差是两个相同数字组成的两位数．
分析证这道题要考虑到以下三点．
①两位数的数码相同时，它一定能被11整除．
②遇到数是任意的，需排个序,这样讨论表述起来比较方便．
③用12个数中最大的数依次地分别减去其余11个数可得到11个差．若差中有相同数码组成的两位数，问题得证；若差中没有合条件的两位数，这时这11个（差）数各自除以11，所得余数只可能在｛1，2，3，…，10｝中，必有两个差数的余数相同,考虑用余数造抽屉解题．
证明：设12个两位数从小到大排列为：
10≤a1＜a2＜…＜a11＜a12≤99，
用a12分别减去其余的数，得差：
b1