信号与系统2连续系统的时域分析法培训教材.ppt

§2.1LTI连续系统的响应§2.1LTI连续系统的响应该方程的全解由齐次解和特解组成，
即
特解：特解的函数形式与激励的函数形式有关。激励查表设，代入原方程，得全解：例2.1-2暂态响应二、关于0-和0+初始值当系统用微分方程表示时，系统的响应及其各阶导数在t=0是否有跳变决定于微分方程右端是否包含及其各阶导数。例2.1-3：描述某LTI系统的微分方程为(书44页）2025/3/8冲激函数匹配法的一般步骤：（以二阶系统为例）三、零输入响应特点：由于输入为零，故初始值：例2.1-4描述某LTI系统的微分方程为(书上46页）四、零状态响应例2.1-5描述某LTI系统的微分方程为(书上47页）因此零状态响应满足：通过前面的例题可见，当方程的右端含有激
励的各阶导数时，零状态响应或其导数在t=0处可
能跃变，在求零状态响应的时候比较麻烦。实际
上，利用LTI系统的线性性质和微分特性可避免这
一过程。例2.1-6：描述某LTI系统的微分方程为求解分别求出系统的全响应可以分为自由响应和强迫响应，也可分为零输入响应和零状态响应，它们的关系是：可见，两种分解方式有明显区别。虽然自由响应和零输入响应都是齐次方程的解，但二者系数各不相同，仅由初始状态所决定，而要由系统的初始状态和激励信号共同来确定。在初始状态为零时，零输入响应为零，但在激励信号的作用下，自由响应并不为零。也就是说系统的自由响应包含零输入响应和零状态响应的一部分。例2.1-7描述某LTI系统的微分方程为(书上50页）解：（1）零输入响应零输入响应（2）零状态响应所以，零状态响应在时满足：将代入得：本题零状态响应也可以这样求：满足：而：求该系统的零输入响应和零状态响应。解：零状态响应为§2.2冲激响应和阶跃响应一、冲激响应例2.2-1：设描述二阶LTI系统的微分方程为

求其冲激响应。确定系数：则有求冲激响应可分两步（1）选新变量，使它满足的微分方程为左端与上式相同，而右端只含，即满足方程例2.2-2：描述系统的微分方程为：求二、阶跃响应
一个LTI系统，当其初始状态为零、输入为单位
阶跃函数时所引起的响应，称为单位阶跃响应，
简称阶跃响应。用g(t)表示。阶跃响应是
时，系统的零状态响应。1.若n阶微分方程等号右端只含激励f(t),当
时，系统的零状态响应g(t)满足方程：若方程的特征根均为单根，则冲激响应与阶跃响应的关系：例2.2-3：如图所示系统，求其阶跃响应。（2）求阶跃响应2025/3/8§2.3卷积积分一、卷积积分把其分解为一系列宽度为的窄脉冲，其第个窄脉冲发生在时刻，强度为:-02kt当时一般而言，若两个函数，积分
称为的卷
积积分。
用表示。即这是求解零状态响应的另一种方法.这是求解零状态响应的另一种方法.二、卷积的图示第一步：先将的自变量用代换，
然后将反转得如图。第二步：将沿轴平移得。当从变到的过程中的变化趋势.第三步：讨论的范围并计算积分例2.3-1求下图所示函数和的卷积积分。解（1）画出和的波形。（2）当时，2025/3/8-202练习：画出下列图形的卷积积分.解（1）画出和的波形。（2）（2）（2）2025/3/8思考：两个时限信号的卷积积分结果有何特点？从非零区间长度及形状考虑。1、两个时限信号的卷积积分结果仍是时限信号，其非零区间宽度为两个时限信号宽度之和。其非零区间起点为两个时限信号非零区间起点之和，非零区间终点为两个时限信号非零区间终点之和。解法一：图示法（1）解法一：图示法（2）显然上式适用于的区间。显然上式适用于的区间。一般而言，两个函数的卷积是否存在与该函数的性状有关。若二者均为有始的可积函数，那么二者的卷积存在，否则视具体情况而定。§2.4卷积积分的性质证明：2025/3/8结合律及其应用：二、函数与冲激函数的卷积推广30t图2.4-5图2.4-6例2.4-2计算下列卷积积分：实际上利用2025/3/8上式适用于2025/3/8例2.4-3下页图（a)画出了周期为T的周期性单位冲激
函数序列，可称为梳状函数，它可用符号表示
（有些文献用combT(t)表示），它可写为：

式中m为整数。函数如图（b)所示，试求：解：三、卷积的微分与积分积分：LTI系统的零状态响应等于激励与系统冲激响应的卷积
积分，利用上面的结论可得：例2.4-4求图示函数与的卷积。解：解法一:利用卷积的性质2025/3/8解法二：图示法解法二：图示法解法二：图示法解法二：图示法解法二：图示法解法二：图示法2025/3/8解法三：表达式法2025/3/8有时，已知所要构成的系统的冲激响应，要求用
框图来构成系统，那么我们就要知道一些基本单元
的冲激响应。例2.4-5下图(a)所示的复合系统由三个子系统构成，已
知各子系统的冲激响应、如图（b)所示。
（